Vectoren, vraagstuk 85

Bereken:



Waarbij het vectorveld F gegeven is door:



S is het oppervlak van het gebied G dat begrensd wordt door de parabolische cilinder:



En verder wordt G begrensd door de vlakken:





Omdat het gebied G maar liefst begrensd wordt door vier ‘verschillende’ oppervlakken (de parabolische cilinder, het x-y-vlak, het x-z-vlak en het vlak y + z = 2) wordt het hier wel heel aantrekkelijk om met de stelling van Gauss aan de slag te gaan. Volgens meneer Gauss geldt:



kennen we als volgt:



Dan wordt het inwendig product F:



We blijven in Cartesische coördinaten en dan is een volumestukje dV:



De grenzen van G zijn:







Om te voorkomen dat ik zo’n rottige wortel in de integraal krijg verander ik de integratievolgorde. Ik integreer als laatste naar dx en ik begin met dy omdat we daar al een heerlijk simpele functie van hebben staan (3y), dus:



Dan wordt de integraal: