Vectoren, vraagstuk 79

Bereken de volgende integraal:
Waarbij T de driehoek is met hoekpunten:


Deze driehoek heeft een naar boven gerichte eenheidsnormaal en het vectorveld v is:

Het vectorveld v
Ik ga eerst twee richtingsvectoren berekenen voor het vlak T:

Dan kan ik T beschrijven als volgt:
Echter, op deze manier beschrijf ik de totale tweedimensionale ruimte waar de punten a, b en c zich in bevinden. Ik zal wat beperking aan moeten brengen:
Dit is beter, maar nu beschrijf ik een parallellogram in plaats van een driehoek. Er moet een afhankelijkheid tussen u en v ingebracht worden:
Dit is het ook niet want nu heb ik de beschrijving van een lijn. De afhankelijkheid tussen u en v moet ik ergens anders zoeken:
Dit is de juiste beschrijving van de driehoek T. Ik schrijf T even iets anders op:
Hieruit kan ik aflezen dat:


Daarmee kan ik het vectorveld ook schrijven als:
Vervolgens bepaal ik de partiële afgeleiden van T:

Het is niet verrassend dat dit uiteraard weer de beide richtingsvectoren oplevert. Het uitwendig product hiervan is dA en dit is tevens de normaalvector:
Omdat de normaalvector naar boven gericht moet zijn (z-component > 0) dien ik dA met −1 te vermenigvuldigen:
Het inwendig product vdA wordt dan:
Daarmee wordt de integraal: