Vectoren, vraagstuk 45

Gegeven is het scalarveld G door:



Gegeven zijn ook de punten:





N is het niveau-oppervlak van G door het punt a.
  1. Bepaal de volgende richtingsafgeleide waarbij v de richting van punt a naar punt b is:

  2. Bepaal een normaalvector in het punt a op het niveau-oppervlak N.
  3. Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan N in het punt a.
  1. Bepaal de volgende richtingsafgeleide waarbij v de richting van punt a naar punt b is:



    Om de gradiënt van G te berekenen bepalen we eerst alle partiële afgeleiden, maar daarvoor schrijf ik eerst de vergelijking voor het scalarveld G wat anders:



    Nu ga ik differentiëren:







    Daarmee is de gradiënt van G in een willekeurig punt:



    Vervolgens vullen we het punt a in:



    De richting van a naar b is:



    De gradiënt in de richting van v is de projectie van G op v, oftewel Gv. Dit is | Gv | maal een ‘eenheidsstukje’ van v, dus:



    We rekenen nu eerst het inwendig product G ∙ v uit:



    En vervolgens | v |2:



    Daarmee wordt de projectie:



    Met als norm:



    Oftewel:


  2. Bepaal een normaalvector in het punt a op het niveau-oppervlak N.

    De gradiënt is een normaalvector op het niveau-oppervlak, dus:


  3. Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan N in het punt a.

    De gradiënt is een normaalvector op het niveau-oppervlak, dus het inwendig product van de gradiënt met de richtingsvectoren van het niveau-oppervlak moet nul zijn:



    Ik kan er vervolgens voor kiezen tx of ty of tz nul te stellen:







    Waardoor ik dit drietal richtingsvectoren tot mijn beschikking krijg:







    Waarvan ik er twee uit kan kiezen voor het raakvlak aan N (en ik kies uiteraard a als steunvector):