Relativiteitstheorie, vraagstuk 48

Leid de vergelijking af voor het relativistisch optellen van twee snelheden zonder gebruik te maken van de invariantie van de lichtsnelheid.

De lichtsnelheid is invariant en dat betekent dat licht door iedere waarnemer met dezelfde snelheid wordt waargenomen. Deze snelheid duiden we aan met c. Vanuit dit gegeven is het vervolgens een redelijk simpel wiskundig pad dat naar de Lorentz-transformaties leidt. En van daaruit kun je vervolgens de vergelijking afleiden voor het relativistisch optellen van snelheden.


Ignatovski

(Credits: ras.ru)

Wat op z’n zachtst gezegd opmerkelijk is, is dat het afleiden van de vergelijking voor het relativistisch optellen van snelheden ook te doen is zonder gebruik te maken van de Lorentz-transformaties. Newton zou de vergelijking al afgeleid kunnen hebben (of een andere slimmerik die voor Einstein leefde). Maar goed, zo is het niet gelopen. Pas nadat Einstein de speciale relativiteitstheorie voor het voetlicht had gebracht (in 1905) was het Vladimir Ignatovski die vijf jaar later als eerste de Lorentz-transformaties afleidde zonder lichtinvariantie. In nagenoeg alle literatuur over relativiteitstheorie wordt dit bijzondere aspect volledig genegeerd. Ik ga hier de vergelijking afleiden voor het relativistisch optellen van snelheden zonder gebruik te maken van andere natuurkunde (en dan bedoel ik met name het elektromagnetisme).

Ik begin met het maken van vier aannames:
  1. ruimte is homogeen (de ruimte ‘hier’ is niet anders dan de ruimte ‘daar’),
  2. tijd is homogeen (de tijd ‘nu’ is niet anders dan de tijd ‘straks’),
  3. ruimte is isotroop (de ruimte is in alle richtingen hetzelfde),
  4. transformaties zijn van dezelfde vorm als de inverse transformaties (het relativiteitsprincipe).
De eerste twee zijn alleen al noodzakelijk, omdat we anders geen natuurkunde kunnen bedrijven. Want stel ik doe een experiment of een meting en de uitkomst zou afhankelijk zijn van het tijdstip en de plaats van uitvoeren dan heeft het experiment of meting totaal geen zin. Diezelfde combinatie van tijdstip en plaats komt immers nooit meer terug. De andere twee aannames zijn het fundament onder het relativiteitsprincipe. Kort door de bocht: zie ik jou naar rechts bewegen met een bepaalde snelheid dan zie jij mij naar links bewegen met exact dezelfde snelheid.

Dan kunnen we nu ‘echt’ aan het werk. Stel ik heb drie stelsels: S1, S2 en S3. In het stelsel S1 bevindt zich een waarnemer W1 en een balk.
Deze waarnemer W1 heeft zijn systeem volgezet met klokken die allemaal keurig gelijk lopen. Verder heeft hij de lengte van de balk opgemeten en die heeft de lengte L1. Alles in dit systeem is in rust ten opzichte van hem, dus dat maakt het leven eenvoudig en hij heeft zeeën van tijd om deze klussen te klaren.

In het stelsel S2 bevindt zich eveneens een waarnemer met een balk.
In dit systeem is de situatie niet anders, de waarnemer W2 heeft zijn systeem ook volgezet met klokken die allemaal keurig gelijk lopen. Verder heeft hij ook de lengte van de balk opgemeten en die heeft de lengte L2. Alles in dit systeem is in rust ten opzichte van hem, dus dat maakt het leven wederom eenvoudig en hij heeft eveneens zeeën van tijd om deze klussen te klaren.

Beide stelsels bewegen ten opzichte van elkaar met een constante snelheid v. W1 ziet W2 voorbijkomen met een snelheid +v en W2 ziet W1 voorbijkomen met een snelheid −v.
Er is nog een derde stelsel en daar bevindt zich de waarnemer W3. W1 ziet W3 voorbijkomen met een snelheid +u1 en W2 ziet W3 voorbijkomen met een snelheid +u2.
Op een bepaald moment vallen de linkerkanten van beide balken samen en dat gebeurt precies op het moment dat W3 daar passeert. Dit noem ik gebeurtenis G1. Voor W1 is dit op het tijdstip T1a en voor W2 op het tijstip T2a.
Enige tijd later vallen de rechterkanten van beide balken samen en toevallig is W3 weer ter plekke om dat te zien gebeuren. Dit noem ik gebeurtenis G2. Voor W1 is dit op het tijdstip T1b en voor W2 op het tijstip T2b. Aan de snelheden waarmee ze elkaar onderling waarnemen verandert uiteraard niets.
Het tijdsverschil tussen beide gebeurtenissen is voor W1 respectievelijk W2:

De lengte van de rode balk is voor W1 respectievelijk W2:

De lengte van de groene balk is voor W1 respectievelijk W2:

De snelheid van W3 is voor W1 respectievelijk W2:

De lengte van de rode balk zoals die door beide waarnemers wordt waargenomen heeft een bepaalde onbekende verhouding (in de teller staat de waarneming van de bewegende waarnemer en in de noemer staat de waarneming van de stilstaande waarnemer, maar dat had ik natuurlijk net zo goed kunnen verwisselen):
En het relativiteitsprincipe vereist dat dit dan ook moet gelden voor de groene balk:
De verhouding volgens vergelijking (5a) moet gelijk zijn aan de verhouding volgens (5b), want anders ligt het relativiteitsprincipe in duigen. Uit de vergelijkingen (5) volgt:

Vervolgens deel ik (6b) door (6a):
Dit resultaat stop ik in vergelijking (4a):
En de vergelijking (6b) stop ik op twee verschillende manieren in de vergelijking (4b) (eerst om L2 te elimineren en daarna om T2 te elimineren):

En deze twee vergelijkingen gaan tenslotte in vergelijking (8):
De factor α mag niet afhankelijk zijn van ruimte of tijd, want dan schenden we één of meer van onze basisaannames. Oftewel, α kan alleen afhangen van de relatieve snelheid tussen twee waarnemers:
En indien die relatieve snelheid gelijk is aan nul dan moet α gelijk aan één zijn. Een blik op de vergelijkingen (5) maakt dat duidelijk, oftewel a0 = 1:
Tenslotte moet α een even functie zijn van de relatieve snelheid (lees: een functie zijn van het kwadraat van die snelheid) om fysisch onmogelijke tekenwisselingen te voorkomen wanneer de relatieve snelheid omkeert van richting. Dit betekent dat alle oneven termen nul moeten zijn:
Omdat α een functie is van v2, dan is α2 dat natuurlijk ook:
En (1 − α2) wordt dan:
En dit stop ik in vergelijking (10):
De snelheden u2 en v moet ik probleemloos kunnen verwisselen voor hetzelfde resultaat, want anders ligt het relativiteitsprincipe weer aan gruzelementen:
Het moge duidelijk zijn dat de vergelijkingen (16a) en (16b) verschillende uitkomsten op gaan leveren. Tenzij, en dat is de enige oplossing, alle coëfficiënten bn nul zijn behalve b1. De vergelijkingen (16) worden dan:

Zo is alles weer met elkaar ‘in balans’. Ik stel:
Zodat ik uiteindelijk kom tot dit resultaat (ik schrijf het even op voor twee willekeurige snelheden):
Een spectaculair resultaat! Terwijl ‘iedereen’ relativiteitstheorie direct associeert met de lichtsnelheid en met elektromagnetisme blijkt dat je relativistische principes ook kunt afleiden gebaseerd op een handvol logische aannames.

Toch wil ik even bekennen dat ik onderweg vals heb gespeeld. Wat is er aan de hand? Ik vertelde aan het begin van deze afleiding dat waarnemer W1 ervoor had gezorgd dat alle rode klokken keurig gelijk lopen, en dat waarnemer W2 ervoor had gezorgd dat alle groene klokken keurig gelijk lopen. Maar hoe hebben ze dat gedaan? Het simpele antwoord is: dat kunnen ze niet! Voor het synchroniseren van klokken heb je namelijk een signaal nodig met een invariante snelheid en ze zijn juist bezig om te ontdekken dat er überhaupt zoiets als een invariante snelheid bestaat. Met andere woorden: er zit een cirkelredenering in dit verhaal. Is er nog iets te redden van deze pagina? Jazeker, ik heb gewoon meer waarnemers nodig. We zetten alle klokken overboord en huren meer waarnemers in. Dit wordt dan de situatie tijdens gebeurtenis G1.
En dit wordt de situatie tijdens gebeurtenis G2.
Het belangrijkste is dat ze waarnemen dat bij G1 de linkerkanten samenvallen en bij G2 de rechterkanten. En wat de waarnemers in hun eigen stelsel (het stelsel waarin ze in rust zijn) aan afstanden en tijdsverschillen meten is niet relevant, die vallen uiteindelijk toch uit de vergelijkingen. Dus wat ze meten is niet van belang, als ze maar meten. Klopt, ik had ook gelijk met vijf waarnemers kunnen beginnen, maar dit leek me handiger.

Tegenwoordig weten we dat voor K geldt:
Om invulling te geven aan de constante K dan heb je uiteindelijk wel het elektromagnetisme nodig, maar dat doet geen enkele afbreuk aan het feit dat je de basisprincipes van de relativiteitstheorie boven water kunt krijgen zonder gebruik te maken van andere natuurkunde. Dat zag zelfs Einstein niet aankomen!