Vectoren, vraagstuk 1

We beschouwen een tweedimensionale ruimte. Welke meetkundige figuren worden beschreven door:








  1. Dit is een lijn met steunvector p en richtingsvector q. De variabele α kan iedere waarde aannemen en daardoor kan de vector (αq) iedere waarde aannemen, maar wel altijd in dezelfde richting (afgezien van het teken van α). Het is dus ‘gewoon’ een rechte lijn te vergelijken met y = ax + b.




  2. Nu hebben we twee richtingsvectoren, p en q, en net zoals hierboven kan (αp) iedere waarde aannemen en ditzelfde geldt voor (βq). Dus samen bestrijken ze de hele tweedimensionale ruimte. Je kunt het ook zien als een variant op de vraag hiervoor waarbij de plaatsvector nu variabel is en op die manier kunnen ze elk punt in de tweedimensionale ruimte bereiken. Of je kunt het vergelijken met y = αx + βx = (α + β)x. Omdat α en β iedere waarde aan kunnen nemen kan vanuit iedere waarde van x iedere waarde van y ontstaan. Tenzij p en q afhankelijke vectoren zijn natuurlijk, dus als p = γq, dan liggen ze in elkaars verlengde en is x de vergelijking van een rechte lijn.




  3. Dit is een variant op de vraag hiervoor waarbij α en β dit keer niet alle waarden aan kunnen nemen maar allebei begrensd zijn op een bepaald interval. Zowel (αp) als (βq) is daarmee begrensd, dus er ontstaat een deelvlak van de tweedimensionale ruimte, een parallellogram.




  4. Dit keer is α weliswaar weer onbegrensd, maar de vectoren p en q zijn niet meer onafhankelijk van elkaar te ‘besturen’. Daardoor kan ik aan iedere vector ((1 − α)p) maar één vector (αq) verbinden en daardoor kan ik niet meer alle punten van de tweedimensionale ruimte bereiken. In dit geval is x weer de vergelijking van een rechte lijn.




  5. Net zoals in de vorige vraag zijn p en q niet meer onafhankelijk van elkaar te ‘besturen’, en daaruit volgde dat het de beschrijving was een rechte lijn. Maar bovendien is α nu begrensd op een bepaald interval. Daarom is x nu de vergelijking van een deel van een rechte lijn, een lijnstuk.