Algemene natuurkunde, vraagstuk 2

Vind een zo algemeen mogelijke oplossing voor de algemene golfvergelijking.
Dit is de algemene golfvergelijking:

De d'Alembertiaan ga ik uitschrijven:

En ik ga mij voor het gemak even beperken tot één ruimtelijke dimensie:
Die variabele ξ moet uiteraard een functie zijn van x en van t (want anders is zijn afgeleide nul en dan heeft deze hele exercitie weinig zin):
Laat ik eens veronderstellen dat die functie f een functie is van een functie van x en van een functie van t:
De afgeleiden naar x respectievelijk t worden dan:

En hieruit volgen de tweede afgeleiden naar x respectievelijk t:

Dit, de vergelijkingen (6) en (7), ga ik invoeren in vergelijking (3):
Nu komt de grote truc, stel dat de functie f een lineaire (eerste orde) functie is van zowel x als t:
Daaruit volgt:





Dat ga ik allemaal invullen in vergelijking (8):
Er is niets op tegen om die tweede afgeleide van de functie f uit te delen:
Dus voor alle functies van de vorm volgens vergelijking (9) heb ik op deze manier een oplossing gevonden voor de algemene golfvergelijking indien K voldoet aan de voorwaarde volgens vergelijking (12). Nou, dat gaan we dan maar eens even uittesten en dat doe ik uiteraard met iets dat echt golft: een sinus. Dat ziet er dan zo uit:
Hierin is u de amplitude, θ0 is een of andere constante fasehoek, k is het golfgetal:
En ω is de hoekfrequentie:
Dan vind ik voor K:
Met andere woorden: de constante K is de reciproke waarde van de snelheid van de golven in het kwadraat.

Ik heb nu een sinus gebruikt, maar er is vanuit een puur wiskundig standpunt helemaal niets op tegen om een logaritme te gebruiken of een tangens of een hyperbolische functie of wat dan ook. Echter, er dient natuurlijk wel een link te zijn naar de fysische werkelijkheid. De functies die ik zojuist opsomde hebben allemaal wel punten waar ze oneindig worden en bovendien bestaat de logaritme niet voor negatieve getallen. Dat zijn aspecten die fysisch niet te verdedigen zijn en daarom de keuze voor de sinus.

En wat indien de functie f geen lineaire (eerste orde) functie is van zowel x als t? In dat geval behoud ik in vergelijking (8) zowel de eerste afgeleiden alsook de tweede afgeleiden. Laten we dat voor de gein eens bekijken, ik stel:
Ik bepaal de afgeleiden:



En dit vul ik in in vergelijking (3):
Oftewel:

Deze monnik kan het ook niet bedenken

Ook de functie volgens vergelijking (17) is een oplossing van de algemene golfvergelijking onder de voorwaarde dat K voldoet aan vergelijking (20). Wiskundig is daar geen speld tussen te krijgen, maar of daar een fysische werkelijkheid aan te koppelen is? Ik kan het niet bedenken.