Relativiteitstheorie, vraagstuk 49

Stel dat je niet weet dat de lichtsnelheid de maximale snelheid is. Hoe zou je er dan toch achter kunnen komen dat er een maximale snelheid is?

Ignatovski

(Credits: ras.ru)

Het was de Rus Vladimir Ignatovski die in 1910 bewees dat de lichtsnelheid een constante is die door Moeder Natuur in het ontwerp van de Kosmos is ingebracht. Of beter gezegd, hij bewees dat er een invariante snelheid moest bestaan die dan tevens de maximale snelheid is. Hij deed dit gebaseerd op enkele algemene aannames, maar zonder gebruik te maken van de wetten van Maxwell (of andere specifieke natuurkundewetten).

Ik heb die afleiding, de afleiding van de Lorentz-transformaties zonder gebruik te maken van de invariantie van de lichtsnelheid, zelf ook gedaan: zie deze pagina. En op deze pagina vind je de afleiding voor het relativistisch optellen van snelheden, wederom zonder ergens de lichtsnelheid erbij in te betrekken.

Het resultaat hiervan zijn vergelijkingen met een onbekende constante waarna je dan toch nog ‘echte’ natuurkunde nodig hebt (zoals de wetten van Maxwell) om de link te leggen met de lichtsnelheid. Die onbekende constante, die noem ik K, duikt onder andere op in de Lorentz-factor γ:
Vervolgens kun je alle transformatievergelijkingen van de speciale relativiteitstheorie afleiden, alleen verschijnt dan overal in plaats van 1/c2 de constante K. Zo ook in de vergelijking voor het optellen van twee snelheden:
Een logische vraag is dan natuurlijk (toch?): wat gebeurt er indien ik heel vaak twee snelheden bij elkaar optel? Waar kom ik dan uit? Daarvoor doen we het volgende gedachtenexperiment, we stellen ons een superraket voor die wordt gelanceerd en uiteindelijk een snelheid v bereikt.

Een blik op het aandrijfsysteem van de superraket
Vervolgens wordt er vanaf die raket een andere raket gelanceerd die uiteindelijk ook een snelheid v bereikt ten opzichte van de raket van waaraf hij gelanceerd is. En dit proces blijft zich herhalen, vanaf deze tweede raket wordt een derde raket gelanceerd die ook een snelheid v bereikt ten opzichte van de raket van waaraf hij gelanceerd is. Vanaf de derde raket wordt een vierde gelanceerd, vanaf de vierde een vijfde, enzovoort. Je snapt het idee wel. Wat is dan de snelheid van de tweede, derde, vierde, ..., n-de raket voor een waarnemer die dit hele gebeuren gade slaat (vanaf het lanceerplatform van de eerste raket)? De eerste raket bereikt een snelheid v, dat is evident:
Om de snelheid van de tweede raket te berekenen moeten we daar een snelheid v relativistisch bij optellen volgens vergelijking (2):
De snelheid van de derde raket wordt:
De snelheid van de vierde raket wordt:
De snelheid van de vijfde raket wordt:
En zo kan ik eindeloos doorgaan. Dit lijkt wellicht een heilloze onderneming, want ik ken immers de constante K niet en die komt in alle vergelijkingen voor. Maar nu komt de truc, ik stel:
Hiermee kan ik voor v1 tot en met v5 schrijven:




Ik stel:
Door volledige inductie kan ik bewijzen dat:
Dat dit klopt kan ik demonstreren door hier nog een keer de snelheid v bij op te tellen:
Kijk, dat klopt perfect. Door de vergelijking (8) te substitueren in (14) krijg ik:
Wanneer ik v positief kies dan is de absolute waarde van Θ altijd kleiner dan één. Vervolgens bepaal ik de limiet voor n gaat naar oneindig van vn:
Wat hierboven staat is de maximale snelheid van het universum! En die is ook nog eens invariant, gelijk voor iedere waarnemer, want K is immers een constante!

Dat kan ik ook nog op een andere manier laten zien door de verschilsnelheid uit te rekenen tussen de n-de raket en de (n + 1)-de raket (zoals gezegd, bezien door een waarnemer die op het lanceerplatform van de eerste raket staat):
Voor grote waarden van n vallen al die Θ’s in de noemer weg tegen die één die aan het begin staat:
Die Θn in de teller gaat uiteraard ook naar nul, met andere woorden, de snelheid stabiliseert zich (op de maximale waarde volgens vergelijking (18)) en neemt niet meer toe. En ik kan het niet vaak genoeg zeggen: dit geldt voor een waarnemer die op het lanceerplatform van de eerste raket staat, want iedere waarnemer in een willekeurige raket ziet de volgende raket keurig een snelheid v ontwikkelen.

Ik kan zelfs nog een derde insteek kiezen. Wanneer ik twee willekeurige (maar gelijke) snelheden bij elkaar optel dan krijg ik (wederom volgens vergelijking (2)):
Ik maak hier even een grafiek van.

De grafiek van vtot = 2v/(1 + Kv2) voor K = 10−4 (de rode lijn),
K = 10−5 (de groene lijn) en K = 10−6 (de blauwe lijn)
De grafiek vertoont een maximum en een minimum en het is natuurlijk wel interessant om die punten te onderzoeken. Daarom ga ik deze functie differentiëren naar de snelheid v:
Dit resultaat ga ik vervolgens nul stellen:
Tenslotte stop ik dit resultaat in vergelijking (21):
Ook zo kom ik tot vmax = 1/√K. Er is ook nog een vierde aanpak mogelijk, daarvoor pak ik vergelijking (21) er weer bij:
Ik stel:
En dit vul ik in in vergelijking (21):
Die sinus kan nooit groter worden dan één en ook hier volgt weer uit dat vmax = 1/√K. De sinus is maximaal voor 2ξ = π/2, dus ξ = π/4. Voor π/4 is de tangens gelijk aan één en v = 1/√K. Zelfs als je de maximale snelheid al hebt dan kun je er toch niet overheen.

Hoe je het ook wendt of keert, sneller dan vmax = 1/√K zal het niet gaan (ook al heb ik in bovenstaande grafiek de snelheid wel laten doorlopen tot voorbij 1/√K). Voor kleine waarden van v is die term Kv2 in de noemer te verwaarlozen en komt het klassieke resultaat vtot = 2v bovendrijven, en voor hele grote waarden van v (groter dan vmax) wordt de term Kv2 juist dominant en wordt vtot = 2/(Kv). Dat heb ik aangegeven in de grafiek hieronder.

De grafiek van vtot = 2v/(1 + Kv2) (de rode lijn), vtot = 2v (de groene lijn) en
vtot = 2/(Kv) (de blauwe lijn), K = 10−6, de lichtbruine lijnen zijn v = ±1/√K
Ik zoom nog even in op het traject van −1/√K tot +1/√K, groen is klassiek en rood is relativistisch.

De grafiek van vtot = 2v/(1 + Kv2) (de rode lijn) en vtot = 2v (de groene lijn), K = 10−6
Voor een variant op dit vraagstuk zie deze pagina.