Integreren: f (x) = sin x/(1 − a2 sin2 x)1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = sin x/(1 − a2 sin2 x)1/2

De grafiek van f (x) = sin x/(1 − a2 sin2 x)1/2 voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn)
Deze integraal vereist een paar trucs. Om te beginnen ga ik die sinus in de noemer omzetten naar een cosinus:
Ik stel:
Zodat de integraal deze vorm krijgt:
Ik stel:
Zodat ik de integraal in deze vorm kan schrijven:
De oplossing van de integraal van 1/(a2 + x2)1/2 kun je elders vinden in de tabel met standaardintegralen. Hetgeen mij brengt bij dit resultaat:
Nu moet t uiteraard weer vervangen worden door x:
En b moet uiteraard weer vervangen worden door a:
Tot slot wil ik nog opmerken dat je de area sinus hyperbolicus kan omschrijven naar een natuurlijke logaritme, en vice versa, als volgt:
De oplossing van deze integraal kan ik daarom ook als volgt opschrijven:
En dit kan ik ook opschrijven als volgt:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren: