Relativiteitstheorie, vraagstuk 41

Bereken het relativistische impulsmoment van een massieve homogene bol.



We hebben het hier over een perfecte bol met een bepaalde rustmassa m0, en die massa is gelijkmatig verdeeld over het gehele volume (want de bol is homogeen).



En zoals de vraag al aangaf hebben we te maken met een massieve bol, zie het opengewerkte plaatje hiernaast.



De bol heeft een straal R ...







... en draait met een bepaalde hoeksnelheid ω.

Het totale volume van de bol is:

Voor de dichtheid van deze homogene bol geldt:

De impuls van een bepaalde massa m is:
Wanneer ik dat vertaal naar de impuls van een infinitesimaal stukje van de bol, van het volume, wordt dat:







Dit infinitesimale stukje volume kies ik als volgt, ik neem een horizontaal bandje van de bol (de rode lijn) en tevens definieer ik een hoek α tussen dit bandje en de ‘evenaar’ van de bol. De straal van het bandje kan ik dan schrijven als:

De omtrek van het bandje is:

Nu ga ik even inzoomen op het bandje. Het bandje is infinitesimaal hoog (of breed, net hoe je het noemen wilt) en sluit daardoor een infinitesimaal hoekje dα in. Daarmee wordt de hoogte van het bandje:

Het bandje heeft een infinitesimale dikte dR en het volume van het bandje is omtrek maal hoogte maal dikte:
Met behulp van vergelijking (2) kan ik dan de massa van het bandje opschrijven:
Dit resultaat stop ik in vergelijking (4):
En voor de rotatiesnelheid van het bandje geldt:
Waarmee vergelijking (10) uiteindelijk wordt:
Nu heb ik de vergelijking voor een infinitesimaal beetje impuls, maar de vraag gaat over impulsmoment:
Omdat de impuls p en de arm r loodrecht op elkaar staan kan ik de vectoraanduidingen weglaten:
Voor een infinitesimaal beetje impulsmoment geldt dan:
Dit combineer ik met de vergelijkingen (5) en (12):
Om het totale impulsmoment te berekenen ga ik integreren waarbij ik gebruik maak van de tabel met standaardintegralen. Ik integreer eerst naar α zodat ik het impulsmoment van het oppervlak te weten kom:
Dit is het impulsmoment van het oppervlak, een bolschil. Door R te laten variëren van 0 tot R neem ik alle bolschillen samen en vind ik het impulsmoment van de gehele bol. Kortom, ik ga nog een keer integreren:
Dit resultaat ga ik verbouwen met behulp van de vergelijkingen (1) en (2):

Dit is een mooi resultaat, maar wel op de klassieke manier berekend! De vraag daarentegen was om het impulsmoment relativistisch te berekenen, en dat vereist een andere aanpak. Want dan komt voor de massa de Lorentz-factor γ er bij in:

Oftewel:
Met behulp van de vergelijkingen (9) en (11) wordt dit:
Voor een infinitesimaal beetje impulsmoment geldt dan:
Ik stel:
Waarmee (23) wordt:
De volgende stap is weer om te gaan integreren en ik maak wederom gebruik van de tabel met standaardintegralen:
Dit is wederom het impulsmoment van het oppervlak, een bolschil. Door R te laten variëren van 0 tot R neem ik alle bolschillen samen en vind ik het impulsmoment van de gehele bol. Kortom, ook nu ga ik nog een keer integreren (waarbij ik nogmaals gebruik maak van de tabel met standaardintegralen):
Dit resultaat ga ik weer verbouwen met behulp van de vergelijkingen (1) en (2):
Kunnen we deze oplossing proberen te duiden? Daarvoor ga ik het bovenstaande resultaat iets anders opschrijven:

Van de natuurlijke logaritme kennen we de volgende Taylor-reeks:

Dit ga ik loslaten op vergelijking (29) en ik moet helaas nogal wat termen meenemen om zometeen iets zinvols over te houden (dus dit wordt tijdelijk even een grote puinhoop):
Dit resultaat ga ik verbouwen met behulp van vergelijking (24) om zo weer terug te komen bij mijn oorspronkelijke variabele R:
Merk op dat de eerste term gelijk is aan de klassieke berekening van het impulsmoment volgens vergelijking (19) en alle volgende termen zijn relativistische bijdragen (die pas significant worden wanneer ωR in de buurt komt van c):
In onderstaande grafiek heb ik het impulsmoment van de bol uitgezet als functie van ωR/c.

Het impulsmoment van de bol als functie van ωR/c voor m0 = 1 kg en R = 1 m,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Samen met het resultaat van het vorige vraagstuk (het impulsmoment van een bol met wanddikte nul) kom ik tot het volgende overzicht:
Impulsmoment van een bol
Klassiek
(volgens Newton)
Relativistisch
(volgens Einstein)
Holle bol met wanddikte nul
Massieve bol
Tot slot wil ik nog opmerken dat dit de area tangens hyperbolicus is:
Hiermee kan ik vergelijking (28) heel compact opschrijven als volgt: