Wiskunde, raadsel 3

Teken boven elkaar drie rijen met drie punten, of naast elkaar drie kolommen met drie punten, dat komt op hetzelfde neer. Je hebt dus een vierkant gevuld met negen punten. Kun je, zonder de pen van het papier te halen, middels vijf rechte lijnen alle negen punten verbinden? En kun je het ook met vier rechte lijnen (zonder de pen van het papier te halen)? En kun je het ook met drie rechte lijnen (zonder de pen van het papier te halen)? En kun je het ook door slechts één rechte lijn te trekken (zonder de pen van het papier te halen)?
Als het goed is heb je nu dit puntenraster op papier staan:

Figuur 1
De eerste vraag, om deze negen punten te verbinden middels vijf lijnen, is relatief simpel en kan bijvoorbeeld als volgt opgelost worden:

Figuur 2
Maar dan, met vier lijnen. Dat wordt al gelijk een stuk uitdagender. Maar ik heb nergens geschreven dat je binnen het vierkant van de negen punten moet blijven, zoals je wellicht onbewust hebt aangenomen. Dus als je die onbewuste beperking overboord zet dan is dit een mogelijke oplossing:

Figuur 3
Weer een stap verder, alle negen punten verbinden middels drie lijnen. Daarvoor is het nodig om nog onbeperkter te denken dan je onbewust doet. Hierbij maken we gebruik van het feit dat de negen punten bepaalde afmetingen hebben. Indien de afmetingen van de punten nul zouden zijn, dan zouden we ze immers niet zien. Met dit in het achterhoofd kun je een soort heeeeeeeeeeeele brede letter Z door de negen punten tekenen. Om dit duidelijk te illustreren heb ik in het plaatje hieronder de punten heel groot gemaakt.

Figuur 4
Dit roept natuurlijk :) de vraag op: hoe breed moet die Z dan zijn? Laten we daarvoor even inzoomen op de middelste rij met drie punten en de lijn die daar doorheen getekend wordt:

Figuur 5
We stellen dat de punten een diameter hebben van a en de hartafstand tussen de punten noemen we b. De daling van de lijn die door de drie punten heen getekend is, is gelijk aan a (de diameter van een punt) over een afstand van 2b (tweemaal de afstand tussen twee punten).

Figuur 6
De daling van de lijn is dus gelijk aan a/2b. Wanneer we dan vervolgens naar het totaalplaatje kijken:

Figuur 7
De daling van de schuine lijn van de Z is gelijk aan 2b (de afstand tussen de bovenste lijn met drie punten en de onderste lijn met drie punten) over een afstand x (die weten we nog niet, en die willen we graag te weten komen).

Figuur 8
De daling van de schuine lijn van de Z is gelijk aan 2b/x en die moet gelijk zijn aan de daling van de lijn door de middelste rij met drie punten waarvan we net bepaald hebben dat die gelijk is aan a/2b. Oftewel 2b/x = a/2b. Hieruit volgt dat x = 4b2/a. Ik had punten getekend van 1/3 cm diameter die 5 cm uit elkaar liggen. Als we die waarden invullen dan krijgen we een x van 300 cm. Zo breed is dit beeldscherm niet en daarom heb ik in figuur 4 de punten heel groot getekend.

Tenslotte de ultieme uitdaging: één rechte lijn door alle negen punten! Door de linkerkant van het papier vast te plakken aan de rechterkant van het papier kun je één rechte lijn tekenen die door alle negen punten gaat. Het papier heeft dan de vorm van een cilinder en de rechte lijn vormt daarop een spiraal.

Figuur 9