Relativiteitstheorie, vraagstuk 36

Bereken alle Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek.

In een ander vraagstuk heb ik reeds de Schwarzschild-Droste-oplossing afgeleid, met als resultaat de Schwarzschild-metriek:

Deze oplossing is een diagonale metrische tensor, dat wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn.

In dit vraagstuk heb ik uitgezocht welke Christoffel-symbolen van de eerste soort wel en niet nul worden in het geval van een diagonale metrische tensor en dat leverde dit resultaat op:







De Schwarzschild-Droste-oplossing is statisch en dat betekent dat alle afgeleiden naar de tijd (tijd = t = x0) nul zijn. Dat maakt mijn lijst een stukje korter:
De componenten van de metrische tensor kan ik aflezen uit vergelijking (1) en dan is het nu een kwestie van differentiëren:






















Waardoor (3) overgaat in:
De Christoffel-symbolen die nul zijn haal ik uit de lijst zodat het volgende overblijft:
Voor de Schwarzschild-straal, de horizon van een zwart gat, geldt:
En ik stel:
Hiermee kan ik (6) ook schrijven als volgt:
Dit zijn dus de Christoffel-symbolen van de eerste soort (die niet nul zijn) van de Schwarzschild-metriek. Daarnaast zijn er ook nog de Christoffel-symbolen van de tweede soort. In dit vraagstuk heb ik uitgezocht welke Christoffel-symbolen van de tweede soort wel en niet nul worden in het geval van een diagonale metrische tensor en dat leverde dit resultaat op:






Zoals al eerder opgemerkt is de Schwarzschild-Droste-oplossing statisch en dat betekent dat alle afgeleiden naar de tijd (tijd = t = x0) nul zijn. Dat maakt mijn lijst wederom een stukje korter:






Met de wijsheid van de vergelijkingen (4) kan ik het bovenstaande nog verder uitdunnen:
Ik heb dus ook de contravariante componenten van de metrische tensor nodig en in dit vraagstuk kun je zien hoe dat moet. Dat gaat volgens deze formule:
Ik reken nu eerst die contravariante componenten uit:






En met behulp van de vergelijkingen (4), (7) en (8) kan ik nu zo de Christoffel-symbolen van de tweede soort opschrijven:
















Waarmee (12) wordt:
Dit kan ik nog iets compacter maken:
Ik zal ze even allemaal netjes bij elkaar zetten:
Christoffel-symbolen van de Schwarzschild-metriek die niet nul zijn
Eerste soort Tweede soort