Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De energie die een zwart voorwerp uitstraalt

De energie die een zwart voorwerp uitstraalt

Hoeveel energie wordt er door een perfect zwart voorwerp uitgestraald bij een bepaalde temperatuur en bij welke golflengte ligt de piek van deze uitgestraalde energie?

Planck

In de natuurkunde is een zwart voorwerp doorgaans geïdealiseerd als een voorwerp dat perfect straling absorbeert (opneemt) en eveneens perfect straling emitteert (uitzendt), straling reflecteren is niet aan de orde. De benamingen hiervoor zijn zwart lichaam [Engels: black body] of zwarte straler. Mijn uitgangspunt om aan een zwart voorwerp te rekenen is uiteraard de stralingswet van Planck, want die geeft de intensiteit van de uitgestraalde energie als functie van de golflengte en de temperatuur per vierkante meter oppervlak:

Dit ga ik in een grafiek uitzetten:

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn),
T = 900 K (de groene lijn) en T = 1000 K (de blauwe lijn)

Of met het hetzelfde bereik op de horizontale as, maar dan met een logaritmische schaalverdeling:

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn),
T = 900 K (de groene lijn) en T = 1000 K (de blauwe lijn)

Het gebruik van een logaritmische schaalverdeling is met name wel illustratief wanneer ik de golflengte laat variëren over een groot bereik. In de bovenstaande twee grafieken varieerde de golflengte een factor vijftig, en in de onderstaande twee grafieken varieert de golflengte een factor 10¹⁰ (eerst met een lineaire schaalverdeling en daarna met een logaritmische schaalverdeling) hetgeen duidelijk maakt dat de intensiteit bij een bepaalde golflengte piekt:

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn),
T = 900 K (de groene lijn) en T = 1000 K (de blauwe lijn),
lineaire horizontale schaalverdeling

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn),
T = 900 K (de groene lijn) en T = 1000 K (de blauwe lijn),
logaritmische horizontale schaalverdeling

Om de totale uitgestraalde energie te berekenen moet ik sommeren over alle golflengtes, dus ik moet de functie volgens vergelijking (1) gaan integreren (en nog vermenigvuldigen met de oppervlakte A):

Ik stel:

Daarmee wordt de integraal:

Deze integraal zoek ik op in de tabel met integralen en zo kom ik tot dit resultaat:

Štefan

Boltzmann

Al die constanten pak ik samen en dat staat nu in de geschiedenisboeken als de constante van Štefan-Boltzmann:

Zodat ik het resultaat heel compact kan opschrijven als volgt, de wet van Štefan-Boltzmann:

Dat is toch wel opmerkelijk, de enige variabele hierin is de temperatuur (en de grootte van het oppervlak uiteraard)! En wat ook het vermelden waard is, is dat de wet van Štefan-Boltzmann er eerder was dan de stralingswet van Planck. De constante van Štefan-Boltzmann bestond al geruime tijd voordat Planck er een theoretisch fundament aan gaf.

De energie die deze kop koffie uitstraalt is alleen afhankelijk van de temperatuur,
het maakt niet uit of de koffie lekker is, het maakt zelfs niet uit óf het koffie is

Zoals de voorgaande grafieken lieten zien treedt er ergens een maximum op. Om te vinden waar dat maximum zich bevindt ga ik vergelijking (1) differentiëren, maar eerst ga ik die verbouwen met behulp van vergelijking (3a):

Nu ga ik differentiëren:

Om het maximum te vinden ga ik de afgeleide nul stellen:

Bij x = 0 en x = ∞ liggen de minima, daar ben ik niet in geïnteresseerd en die kan ik dus uitdelen/negeren:

Waarna Excel mij even verder helpt: x = 4.9651142317. Dit resultaat noem ik x_p en die stop ik in vergelijking (3a):

De golflengte waarbij de maximale intensiteit optreedt is omgekeerd evenredig met de temperatuur hetgeen al enigszins te zien was aan de voorgaande grafieken.

De grafiek van λ_p (T)

Deze kolen stralen rood licht, wanneer ze afkoelen (lagere temperatuur) stralen ze
infrarood (langere golflengte) die niet meer zichtbaar is voor onze ogen
maar wel voelbaar op onze huid

Het is natuurlijk ook wel interessant om te weten welke intensiteit hierbij hoort. Daarom ga ik deze λ_p invullen in de formule van Planck:

In plaats van golflengte als functie van de temperatuur kan ik vergelijking (12) natuurlijk ook opschrijven in de vorm van temperatuur als functie van de golflengte:

Omdat geldt:

Wien

Hiermee kan ik vergelijking (14) ook schrijven als volgt:

Deze vergelijking staat nu in de boeken als de verschuivingswet van Wien.

Tot slot vul ik vergelijking (14) in in vergelijking (13):

Dit voeg ik toe aan de eerste twee grafieken van deze pagina:

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn), T = 900 K (de groene lijn),
T = 1000 K (de blauwe lijn) en I_p (λ_p) (de paarse lijn),
lineaire horizontale schaalverdeling

De grafiek van I (λ) voor T = 800 K (de rode lijn), T = 900 K (de groene lijn),
T = 1000 K (de blauwe lijn) en I_p (λ_p) (de paarse lijn),
logaritmische horizontale schaalverdeling

Het is natuurlijk ook nog wel leuk om de bovenstaande grafiek uit te breiden voor alle kleuren van de regenboog. Onderstaande tabel geeft de kleuren van de regenboog met de bijbehorende golflengtes en temperaturen (met de belangrijke kanttekening dat er geen universele overeenstemming is hieromtrent, zelfs op Wikipedia is onderstaande tabel verschillend in verschillende talen).

Kleur (regenboog)	Piekgolflengte λ_p [nm]	Piektemperatuur T_p [K]
Rood	685	4230
Oranje	605	4790
Geel	580	5000
Groen	530	5470
Blauw	485	5980
Indigo	460	6300
Violet	415	6980

En dat leidt dan tot de grafiek hieronder.

De grafiek van I (λ) voor de kleuren van de regenboog,
logaritmische horizontale schaalverdeling

Of in 3D (gemaakt met Python, die de kleuren duidelijk weer iets anders koppelt aan temperaturen).

De grafiek van I (λ) voor de kleuren van de regenboog,
lineaire horizontale schaalverdeling

Samengevat:

De intensiteit van de uitgestraalde energie per vierkante meter oppervlak, de wet van Planck:

De totale uitgestraalde energie, de wet van Štefan-Boltzmann:

De golflengte waarbij de maximale intensiteit optreedt als functie van de temperatuur:

De maximale intensiteit als functie van de temperatuur:

De verschuivingswet van Wien:

De maximale intensiteit als functie van de golflengte waarbij die maximale intensiteit optreedt: