Vectoren, vraagstuk 82

Gegeven het vectorveld:



Het oppervlak S is de wand (mantel en bodem) van een omgekeerde kegel met de top in de oorsprong waarvan de bodem een cirkelschijf met straal 4 is op hoogte z = 4. Bereken de naar buiten gerichte flux van v door S.
De (omgekeerde) kegel is een cirkel waarvan de straal toeneemt met z:



De bodem (B) is een cirkelschijf, een verzameling cirkels met maximale straal r = 4 op hoogte z = 4:



Voor een cirkel geldt immers:



Voor zowel de mantel (M) als de cirkelschijf geldt dus voor de straal:



De totale flux door de kegelwand (bodem + mantel) is:

Volgens meneer Gauss geldt ook voor deze kegel de stelling van Gauss:



kennen we als volgt:



Dan wordt het inwendig product v:



Deze kegel, een omwentelingslichaam om de z-as, vraagt gewoon om cilindercoördinaten:







Het omschrijven naar cilindercoördinaten levert dit resultaat op:



In cilindercoördinaten geldt voor een volumestukje dV:



De grenzen van de kegel zijn:







De uitwerking van de integraal wordt dan: