Vectoren, vraagstuk 17

Gegeven het vlak V met parametervoorstelling:



En de vectoren:





  1. Bereken een normaalvector op V.
  2. Bereken de loodrechte afstand van V tot de oorsprong.
  3. Bepaal een (andere) parametervoorstelling van V, waarbij de steunvector en de beide richtingsvectoren alle drie onderling loodrecht zijn.
  1. Bereken een normaalvector op V.

    Om een normaalvector te berekenen nemen we het uitwendig product van de beide richtingsvectoren van het vlak:


  2. Bereken de loodrechte afstand van V tot de oorsprong.

    De projectie van de steunvector a op n is an. Dit is | an | maal een ‘eenheidsstukje’ van n, dus:



    We rekenen nu eerst het inwendig product an uit:



    En vervolgens | n |2:



    Daarmee wordt de projectie:



    De afstand tot de oorsprong is de absolute waarde hiervan:


  3. Bepaal een (andere) parametervoorstelling van V, waarbij de steunvector en de beide richtingsvectoren alle drie onderling loodrecht zijn.

    Door het uitwendig product te nemen van de eerste richtingsvector met de normaalvector krijgen we een nieuwe vector die loodrecht op de eerste richtingsvector staat en loodrecht op de normaalvector. Dat wordt dan de nieuwe tweede richtingsvector:



    En als loodrechte steunvector s gebruiken we de projectie van de steunvector a op de normaalvector n (die we al hebben uitgerekend):



    Daarmee wordt de nieuwe parametervoorstelling van het vlak: