Relativiteitstheorie, vraagstuk 35

Wat zijn Eddington-Finkelstein-coördinaten en wat kun je er mee?

In de eerste plaats zijn het eigenlijk Eddington-coördinaten, want hij schreef ze als eerste op (in 1924) en Finkelstein kwam er pas veel later (in 1958) nogmaals mee aanzetten. Echter, door weer zo’n rare historische twist zijn de namen van beide heren nu verbonden aan dit coördinatenstelsel.

Goed, dat gezegd hebbende, Eddington-Finkelstein-coördinaten zijn een soort bolcoördinaten waarbij je de tijd t omzet als volgt:



De differentiaal hiervan is:



Oftewel:

Het feit dat ik de tijdcoördinaat ga omzetten geeft eigenlijk al wel aan dat ik met relativiteitstheorie bezig ben. Daarom pak ik nu de Schwarzschild-Droste-oplossing erbij, de eerste en eenvoudigste oplossing van de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie:



Ik stel:



Daarmee worden de vergelijkingen (1), (3) en (4):







Nu ga ik de tijdcoördinaat in vergelijking (8) vervangen door de nieuwe tijdcoördinaat volgens vergelijking (7):



Wanneer ik g00 en g11 uitzet in een grafiek in bolcoördinaten dan ziet dat er zo uit (waarbij ik r0 genormaliseerd heb naar één en de lichtsnelheid c ook):

Figuur 1: g00 en g11 in bolcoördinaten
Voor r = 1 is er een probleem: g11 gaat naar oneindig. Hieronder staat dezelfde grafiek, maar dan in Eddington-Finkelstein-coördinaten:

Figuur 2: g00 en g11 in Eddington-Finkelstein-coördinaten

Er zijn nu geen wiskundige problemen meer in die zin dat een noemer op enig moment nul wordt. Behalve natuurlijk voor r = 0, maar dat was altijd al zo, ook bij de gravitatiewet van Newton:

Dit is de kracht en het nut van Eddington-Finkelstein-coördinaten, bij zwarte gaten kom je met andere coördinatensystemen in de problemen in de buurt van de horizon en dat wiskundige akkefietje wordt op deze manier weggepoetst.

Als je zelf nog even wilt rekenen: Excel file (opent in een nieuw tabblad).