Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 18

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk C:
Theorie van het zwaartekrachtveld.


Paragraaf 18:
De impulsenergiewet voor de materie als gevolg van de veldvergelijkingen.


In paragraaf 11 hebben we deze vergelijking afgeleid:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Omdat we er nog steeds vanuit gaan dat:



En dat daarom ook geldt:



Hieruit volgt voor vergelijking (11.16/E29):



Dit gebruikt Einstein als aanloopje om de veldvergelijkingen, die we gevonden hebben in paragraaf 16, te gaan bewerken:





Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Ik ga vergelijking (16.32/E53) vermenigvuldigen met ∂gμν/∂xσ:



Vervolgens werk ik de haken weg en ik haal alle termen naar de linkerkant:



In paragraaf 15 heb ik ook een vermenigvuldiging met ∂gμν/∂xσ helemaal uitgewerkt (zie vergelijkingen (15.34) t/m (15.38)). Het resultaat daarvan komt overeen met het deel van vergelijking (18.6) dat tussen haken staat en daar kan ik nu rechtstreeks vergelijking (15.38) in zetten:



Vergelijking (17.14/E56) ligt waarschijnlijk nog vers in het geheugen:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Dit kan ik ook schrijven als:



Vergelijking (18.7) wordt daarmee:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Dit resultaat vergelijken we met vergelijking (11.70/E41b) uit paragraaf 11 waar we de divergentie onder de loep hebben genomen:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:

Aan de behoudswetten voor energie en impuls wordt voldaan indien de divergentie van ‘wat er is’ nul wordt, daar hebben we het in de vorige paragrafen uitgebreid over gehad. Echter, de divergentie van alleen de energietensor wordt volgens bovenstaande vergelijkingen alleen nul indien de tweede term van vergelijking (18.9/E57) nul wordt. Die tweede term op zijn beurt wordt alleen nul indien de energietensor zelf nul is (nogal wiedus) of indien de afgeleide van de metrische tensor nul wordt. Dit laatste is het geval wanneer de componenten van de metrische tensor constant zijn. Het gevolg daarvan is dat de Christoffel-symbolen allemaal nul worden en dat er daarom geen zwaartekrachtveld aanwezig kan zijn (zie paragraaf 13). Met andere woorden, de tweede term van vergelijking (18.9/E57) stelt de energie en impuls voor die per ‘eenheid ruimtetijdcontinuüm’, dus per volume en per tijdseenheid, door het zwaartekrachtveld overgedragen wordt op de energie oftewel de materie.

Voordat ik in paragraaf 11 vergelijking (11.70/E41b) afleidde passeerden we vergelijking (11.65/E41):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Ik ga verder werken met deze vergelijking, dit is de divergentie dus die moet nul zijn:



Verder weet ik dat √(−g) = 1:



En ik zet voor de tensor A de energietensor in de plaats:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Vergelijking (18.12/E57a) laat nog duidelijker zien hoe het zwaartekrachtveld de energie/materie beïnvloedt. De rechterkant van deze vergelijking is de energetische invloed die het zwaartekrachtveld uitoefent op de materie. Door vergelijking (18.12/E57a) helemaal uit te schrijven voor de lopende index σ ontstaan vier vergelijkingen:









Wat er uiteindelijk in de praktijk gebeurt, Einstein noemt dat “de materiële gebeurtenissen”, moet dus voldoen aan de voorwaarden van de vergelijkingen (18.13). Want alles wat we tot nu toe hebben gedaan is allemaal theoretisch gepraat over ruimtetijd en zwaartekracht maar wat gebeurt er nou in de werkelijkheid? Wat gebeurt er echt? Al het wiskundige gegoochel dat we achter ons hebben liggen ziet er allemaal prachtig en indrukwekkend uit, echter, wij leven niet in een wiskundige abstractie maar in de werkelijkheid. Oftewel, wat zijn de materiële gebeurtenissen? Daar gaat het volgende hoofdstuk over.