Vectoren, vraagstuk 93

Gegeven de functie:



Deze functie is gedefinieerd op de kwart cirkelschijf:



Het oppervlak S is de grafiek van f. Tenslotte definiëren we het vectorveld v:

  1. Maak een parametrisering van S.
  2. Bereken de oppervlakte van S.
  3. Bereken de flux-integraal:



    De oriëntatie van S is naar boven gericht.
  1. Maak een parametrisering van S.

    Als parametrisering kan ik opschrijven:



    Maar anticiperend op wat komen gaat (het ‘grondoppervlak’ is een kwart cirkelschijf) is het verstandig om over te gaan naar cilindercoördinaten:







    De parametrisering wordt dan:


  2. Bereken de oppervlakte van S.

    Door partieel te differentiëren verkrijg ik twee raakvectoren aan het oppervlak S:





    Via het uitwendig product van deze twee raakvectoren bepaal ik de vector dA:



    Vervolgens bepaal ik de norm (= grootte) van dA:



    De oppervlakte van S wordt dan:


  3. Bereken de flux-integraal:



    De oriëntatie van S is naar boven gericht.

    De vector dA hebben we al:



    De z-component is r en is dus altijd positief, dus dA is naar boven gericht. Uit de parametrisering van S kunnen we x, y en z aflezen en daarmee het vectorveld v schrijven als:



    Dan wordt het inwendig product vdA:



    Ik integreer eerst naar θ want dan ben ik gelijk die sinussen en cosinussen kwijt. De integraal wordt dan:



    Voor het oplossen van deze integraal heb ik gebruik gemaakt van de tabel met standaardintegralen.