Vectoren, vraagstuk 66

Het oppervlak S is de grafiek van de functie:



Het vectorveld v is gegeven door:

  1. Geef een parametrisering van S.
  2. Bereken een naar boven gerichte normaal op S (hoeft niet genormeerd te worden).
  3. Bereken de volgende integraal, waarbij A is georiënteerd volgens de naar boven gerichte normaal:

  1. Geef een parametrisering van S.

    Als we stellen dat:



    Dan kunnen we het oppervlak S ook schrijven als:



    Vervolgens kunnen we ook nog simpelweg stellen dat:





    Waaruit volgt voor z:



    De beschrijving van S wordt dan:


  2. Bereken een naar boven gerichte normaal op S (hoeft niet genormeerd te worden).

    We kunnen S nog anders opschrijven als volgt:



    Want door dit uit te schrijven in componenten krijgen we weer:







    Een normaalvector volgt dan uit het uitwendig product van de twee richtingsvectoren:



    Of ik kan eerst de partiële afgeleiden bepalen:





    Het uitwendig product van deze twee vectoren levert wederom een normaalvector op:



    Hiervoor is gesteld dat:





    Daarom kunnen we de partiële afgeleiden ook rechtstreeks bepalen naar x en y:





    Het uitwendig product van deze twee vectoren levert ook in dit geval de volgende normaalvector op:



    Ik ga de normaalvector nu uitrekenen:



    De z-component is 1, dus altijd positief, dus n is altijd naar boven gericht.

  3. Bereken de volgende integraal, waarbij A is georiënteerd volgens de naar boven gerichte normaal:



    Omdat geldt dat:





    Hierdoor kunnen we voor het vectorveld v ook schrijven:



    De vector dA is (in dit geval) gelijk aan de normaalvector die we reeds berekend hebben:



    Het inwendig product van deze twee vectoren levert op:



    De uitwerking van de integraal wordt dan: