Vectoren, vraagstuk 57

Gegeven de punten:







T is de driehoek met a, b en c als hoekpunten. Met T wordt dus niet het gehele vlak door a, b en c bedoeld, maar uitsluitend het deel daarvan dat door de lijnstukken ab, bc en ca wordt begrensd.
  1. Bepaal een parametrisering van T.
  2. Bereken de oppervlakte van T door “het uitwendig product van de partiële afgeleiden te integreren”.
  3. Bereken de oppervlakte van T middels “het uitwendig product van de richtingsvectoren”.
  1. Bepaal een parametrisering van T.

    Ik ga eerst twee richtingsvectoren berekenen:





    Dan kan ik T beschrijven als volgt:



    Echter, op deze manier beschrijf ik de totale tweedimensionale ruimte waar de punten a, b en c zich in bevinden. Ik zal wat beperking aan moeten brengen:



    Dit is beter, maar nu beschrijf ik een parallellogram in plaats van een driehoek. Er moet een afhankelijkheid tussen u en v ingebracht worden:



    Dit is het ook niet want nu heb ik de beschrijving van een lijn. De afhankelijkheid tussen u en v moet ik ergens anders zoeken:



    Dit is de juiste beschrijving van de driehoek T.

  2. Bereken de oppervlakte van T door “het uitwendig product van de partiële afgeleiden te integreren”.

    Ik schrijf T eerst iets anders op:



    Vervolgens bepaal ik de partiële afgeleiden:





    Het uitwendig product hiervan is:



    En daar neem ik de grootte (= norm) van:



    De oppervlakte van T wordt dan:


  3. Bereken de oppervlakte van T middels “het uitwendig product van de richtingsvectoren”.

    Via deze methode vinden we de oppervlakte van T als volgt (het uitwendig product levert een vector op die een maat is voor het parallellogram dat opgespannen wordt en daarom komt de factor half er voor):