Relativiteitstheorie, vraagstuk 3

Een meertrapsraket wordt gelanceerd. Wanneer de eerste trap is uitgebrand heeft de raket een snelheid v. De eerste trap wordt afgestoten en de tweede trap wordt ontstoken. Wanneer de tweede trap is uitgebrand heeft de raket een snelheid v ten opzichte van de eerste trap. Vervolgens wordt de tweede trap afgestoten en de derde trap wordt ontstoken. Na de derde trap komt de vierde trap en zo blijft dit proces zich herhalen. Wat is de snelheid van de raket ten opzichte van de lanceerplaats wanneer de tweede trap is uitgebrand? En wanneer de derde trap is uitgebrand? En wat is de snelheid na n trappen? Wat wordt de uiteindelijke snelheid van de raket?

Lancering van een Space Shuttle
(Credits: NASA)
Om te beginnen introduceer ik β. Dit is de relatieve snelheid ten opzichte van de lichtsnelheid en tevens de snelheid die iedere rakettrap genereert ten opzichte van de vorige rakettrap:



Verder is er de formule voor het relativistisch optellen van twee snelheden v1 en v2:


Twee seconden nadat het commando is gegeven om de boosters van
de Space Shuttle af te werpen is deze opname gemaakt, de kamera is
op de ene booster gemonteerd, de andere booster is links zichtbaar
(Credits: NASA)


Vanaf de grond gezien ziet het er dan zo uit
(Credits: NASA)


En een tiental seconden later is dit de situatie, een prachtig uitzicht
op de Space Shuttle met de tank met vloeibare brandstof
(Credits: NASA)

Voor de start heeft de raket uiteraard een snelheid nul ten opzichte van de lanceerplaats:



Wanneer de eerste trap is uitgebrand heeft de raket een snelheid v:



De index die ik telkens bij de snelheid aangeef is het aantal uitgebrande rakettrappen. Na het uitbranden van de tweede trap heeft de raket een snelheid v ten opzichte van de eerste trap en de eerste trap heeft een snelheid v ten opzichte van de lanceerplaats. Deze snelheden kunnen we als volgt bij elkaar optellen:



Hieruit kunnen we de snelheid berekenen nadat de derde trap is uitgebrand door hier wederom een snelheid v bij op te tellen:



En zo gaan we verder, de snelheid na vier trappen:

Na vijf trappen:



En zo kan ik nog heel lang doorgaan. Laten we de getallen die voor de β-termen staan eens overzichtelijk in een tabel zetten:
β0 β1 β2 β3 β4 β5
v0 1 0 0 0 0 0
v1 1 1 0 0 0 0
v2 1 2 1 0 0 0
v3 1 3 3 1 0 0
v4 1 4 6 4 1 0
v5 1 5 10 10 5 1
Tabel 1
In deze tabel zit een bepaalde regelmaat: ieder getal is de som van het getal erboven (ten noorden) en linksboven (ten noordwesten). Met deze kennis is het natuurlijk simpel om de tabel verder uit te breiden.
β0 β1 β2 β3 β4 β5 β6 β7 β8 β9 β10
v0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0
v3 1 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0
v4 1 4 6 4 1 0 0 0 0 0 0
v5 1 5 10 10 5 1 0 0 0 0 0
v6 1 6 15 20 15 6 1 0 0 0 0
v7 1 7 21 35 35 21 7 1 0 0 0
v8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 0 0
v9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 0
v10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Tabel 2
En door dit in een Excel file (opent in een nieuw tabblad) te zetten kunnen we gemakkelijk rekenen. We beginnen met een lage snelheid: β = 0.000001 (ongeveer 300 m/s).
β = 0.000001
v1 0.000000100000000 c
v2 0.000000200000000 c
v3 0.000000300000000 c
v4 0.000000400000000 c
v5 0.000000500000000 c
v6 0.000000600000000 c
v7 0.000000700000000 c
v8 0.000000800000000 c
v9 0.000000900000000 c
v10 0.000001000000000 c
Tabel 3
Dit is niet zo verrassend, dit is hoe we gewend zijn om snelheden op te tellen. Maar nu gaan we echt gas geven: β = 0.1.
β = 0.1
v1 0.100000000000000 c
v2 0.198019801980198 c
v3 0.292233009708738 c
v4 0.381096123007263 c
v5 0.463434802362562 c
v6 0.538479775527768 c
v7 0.605855672855616 c
v8 0.665533922606704 c
v9 0.717764275245588 c
v10 0.762998937319742 c
Tabel 4
Onze onverschrokken piloot duwt het gaspedaal nog wat verder in: β = 0.5 (de halve lichtsnelheid!).
β = 0.5
v1 0.500000000000000 c
v2 0.800000000000000 c
v3 0.928571428571429 c
v4 0.975609756097561 c
v5 0.991803278688525 c
v6 0.997260273972603 c
v7 0.999085923217550 c
v8 0.999695214873514 c
v9 0.999898394635237 c
v10 0.999966130397968 c
Tabel 5
We zetten de meter nu helemaal in het rood: β = 0.9.
β = 0.9
v1 0.900000000000000 c
v2 0.994475138121547 c
v3 0.999708454810496 c
v4 0.999984653396971 c
v5 0.999999192278179 c
v6 0.999999957488309 c
v7 0.999999997762543 c
v8 0.999999999882239 c
v9 0.999999999993802 c
v10 0.999999999999674 c
Tabel 6

We kunnen doen wat we willen, maar uiteindelijk zullen we nooit de lichtsnelheid bereiken. Ook al zou iedere trap op de een of andere wonderbaarlijke manier een voortstuwing geven van β = 0.999999 c, dan nog zou het eindresultaat na heel veel trappen een fractie onder de lichtsnelheid blijven. Weliswaar zien we dat wel in na al het voorgaande gereken, maar dit is daarom nog geen waterdicht wiskundig bewijs. Is er een manier om dit anders aan te pakken? Tijdens de uitleg van paragraaf 4 van het artikel van Einstein over de algemene relativiteitstheorie kwam ik op een gegeven moment met deze vergelijking:



Het optellen van twee snelheden gaat via die enigszins lastige formule waar ik aan het begin van dit vraagstuk mee begon, maar het argument Ω van de tangens hyperbolicus mag ik gewoon lineair optellen. En Ω mag dan een imaginaire hoek zijn, hij is wel een maat voor de snelheid!



Na n trappen is de snelheid simpelweg nΩ.



De tangens hyperbolicus is gegeven als:



Ik heb hier dus iets van de vorm (p − 1) / (p + 1). Als ik dit kan uitdrukken in β en er ook nog ln (de natuurlijke logaritme) voorzet dan moet ik van die vervelende tanh af kunnen komen.



Hier zet ik ln voor en ook nog een half, want in de exponent van de tanh staat 2x. Even controleren of dit klopt:



Dit klopt dus helemaal, en daarom kan ik voor βn schrijven:



Nu heb ik via een andere weg een uitdrukking verkregen voor vn voor iedere willekeurige n:



Dit ziet er wat rommelig uit door die haakjes en breuken. Ik introduceer daarom een hulpvariabele:



Waardoor de vergelijking voor vn wordt:



Kijk, dat ziet er wat overzichtelijker uit. En nu heb ik ook het waterdichte bewijs dat voor n → ∞ de maximaal haalbare snelheid c is:



Ongeacht hoeveel snelheid een rakettrap oplevert, voor het bereiken van de lichtsnelheid zul je toch echt oneindig veel rakettrappen achter elkaar moeten zetten. De lichtsnelheid is benaderbaar maar onbereikbaar.

Dus ook deze opgevoerde Space Shuttle gaat zelfs niet in de buurt komen van de lichtsnelheid