Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 20

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk D:
De “materiële” gebeurtenissen.


Paragraaf 20:
De elektro-magnetische veldvergelijkingen van Maxwell voor het vacuüm.

We laten de vloeistoffen achter ons en Einstein richt zich nu op het elektromagnetisme. In de vorige paragraaf kwamen de vloeistofvergelijkingen van Euler uitgebreid langs en nu gaat het om de vergelijkingen van Maxwell. Daarom beginnen we nu eerst met een stoomcursus elektromagnetisme.

We kennen de zwaartekrachtwet van Newton. Twee voorwerpen, m1 en m2, ondervinden een aantrekkingskracht die evenredig is met hun beider massa’s en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen hun zwaartepunten:

Hierin is G een evenredigheidsconstante. Voor elektrische ladingen geldt dezelfde relatie. Het experimentele voorwerk hiervoor is grotendeels door Charles-Augustin de Coulomb gedaan en daarom is de volgende wet naar hem genoemd, de wet van Coulomb betreffende de elektrische kracht tussen twee ladingen q1 en q2:

Hierin is K een evenredigheidsconstante waarvoor geldt:



Waarin ε0 de permittiviteit van het vacuüm is (vergelijk het Engelse “to permit” wat “toestaan” betekent, in dit geval het toestaan van het polariseren (waar ik zometeen op terugkom) en het nulletje geeft het vacuüm aan). Daarmee komen we tot de wet van Coulomb in zijn gangbare vorm:



De kracht tussen twee massa’s is altijd aantrekkend maar elektrische lading is er in twee smaken: positief en negatief. Daardoor kan de elektrische kracht twee kanten op werken: aantrekkend (voor een positieve en een negatieve lading) of afstotend (voor twee gelijksoortige ladingen). Die elektrische kracht kan ik ook schrijven als:



In vergelijking (20.5) is q de ‘voelende’ lading die zich beweegt in de invloedssfeer E van de andere lading. Deze invloedssfeer noemen we het elektrische veld. Plaatjes zeggen zo veel meer, zo ziet het veld er uit van één enkele positieve lading:


Figuur 20.1
Inderdaad, dat ziet er net zo uit als het zwaartekrachtveld van (bijvoorbeeld) de Aarde, maar dat is uiteraard voor de hand liggend omdat de vergelijkingen (20.1) en (20.2) van dezelfde vorm zijn. Zowel het zwaartekrachtveld van de Aarde als het elektrische veld van een puntlading zijn conservatieve velden. Daar hebben we het in paragraaf 16 ook al over gehad. In een conservatief veld maakt het niet uit via welke route je van A naar B beweegt want het kost altijd exact evenveel arbeid:



En voor de route van B naar A wisselt de arbeid van teken maar blijft gelijk in grootte:



Met andere woorden, wanneer een lading een ommetje maakt in een conservatief veld en terugkeert op zijn vertrekpunt dan kost dat exact nul arbeid, ongeacht hoe dat ommetje eruit ziet! Hierbij maak ik de opmerking dat dit ommetje quasi-statisch wordt uitgevoerd, zeg maar oneindig langzaam, zodat er geen kinetische energie (bewegingsenergie) opgebouwd wordt en we alleen in termen van potentiële energie praten:



En door dit toe te passen op het elektrische veld komen we tot de eerste wet van Maxwell:



Waarbij ik de belangrijke kanttekening maak dat we het vooralsnog hebben over een statisch veld, met andere woorden het veld is onveranderlijk in de tijd gezien.

Wanneer ik mij een bolvormig oppervlak voorstel met in het centrum een puntlading q dan zal het elektrische veld van de puntlading overal loodrecht door het boloppervlak gaan en dezelfde grootte hebben daar waar het door het boloppervlak gaat. Het veld is E en het oppervlak van de bol is 4πr2. Er geldt dan:



Oftewel:



Maar wat nou indien we een willekeurig omsluitend oppervlak hebben? Of de lading bevindt zich niet in het midden? Of er worden meerdere ladingen door het oppervlak omsloten? Of iedere willekeurige combinatie van deze drie ‘problemen’ (problemen bestaan niet, die bedenken we alleen maar omdat de werkelijkheid ons niet aanstaat). Laten we even uitgaan van drie ladingen: q1, q2 en q3. Om iedere lading denk ik mij een bolvormig oppervlak waarvan de lading zich in het centrum bevindt. Voor het bolvormige oppervlak rondom q1 geldt dan:



Voor het oppervlak dat q2 omsluit:



En tenslotte voor q3:



Vervolgens visualiseer ik mij dat het willekeurige oppervlak dat alles omsluit, het totale volume omsluit minus de drie bolletjes waar de ladingen in zitten. Oftewel, het willekeurige oppervlak omsluit alles behalve de drie ladingen, met andere woorden het omsluit niets (geen lading). En omdat het niets omsluit moet de netto flux door dat oppervlak nul zijn want alles wat er in gaat moet er ook ergens weer uitkomen omdat veldlijnen niet zomaar ergens ophouden. Het omsloten volume grenst binnenin aan de drie bolletjes die de drie ladingen omsluiten en daar stroomt dit veld doorheen (vergelijkingen (20.12), (20.13) en (20.14)):



En dat moet er aan de buitenkant weer uitstromen om netto op nul uit te komen:



Of in zijn algemeenheid:



In integraalvorm wordt dit, uitgaande van een bepaalde ladingsverdeling ρ, de tweede wet van Maxwell:



Tot nu toe hebben we het gehad over stilstaande elektrische ladingen (elektrostatica). Indien een elektrische lading in beweging komt dan ontstaat elektrische stroom:

Daarmee betreden we het gebied van de elektrodynamica. De verschijnselen die bewegende ladingen voortbrengen vallen onder de noemer magnetisme. Wat Coulomb bij elkaar heeft geëxperimenteerd voor niet-bewegende elektrische ladingen heeft André-Marie Ampère gedaan voor bewegende elektrische ladingen, voor stromen dus. Daaruit is voortgekomen de wet van Ampère betreffende de magnetische kracht tussen twee stukjes stroomvoerende geleiders dl1 en dl2 met stromen i1 en i2:



Hierin is K een evenredigheidsconstante waarvoor geldt:



Waarin μ0 de permeabiliteit van het vacuüm is (permeabel betekent “doordringbaar” of “doorlaatbaar” en het nulletje geeft het vacuüm aan). Daarmee komen we tot de wet van Ampère in zijn gangbare vorm:



In tegenstelling tot de wet van Coulomb is de wet van Ampère gegeven in differentiaalvorm en er dient nog geïntegreerd te worden over de gehele stroomkring (zowel over l1 als l2) om de totale kracht, die de stroomvoerende geleiders op elkaar uitoefenen, te weten te komen. Net zoals bij de elektrische kracht ga ik vergelijking (20.22) anders opschrijven:



In vergelijking (20.23) is i dl de ‘voelende’ stroomgeleider die zich beweegt in de invloedssfeer B van de andere stroomgeleider. Deze invloedssfeer noemen we het magnetische inductieveld. Maar dit veld ziet er fundamenteel anders uit dan het elektrische veld, want terwijl de veldlijnen van het elektrische veld ontstaan en eindigen loodrecht op de elektrische lading vormen de veldlijnen van het magnetische inductieveld zich loodrecht op de stroom én loodrecht op de elektrische veldlijnen. Dit zijn de magnetische veldlijnen rondom een draad waar stroom doorheen loopt:


Figuur 20.2
Voor het elektrische veld van één enkele puntlading geldt:



Oftewel, de veldlijnen staan loodrecht op de lading in de richting van r. Voor het magnetische inductieveld van één enkel stukje stroomvoerende geleider geldt:



En dit betekent dat de veldlijnen loodrecht op de elektrische veldlijnen staan (die in de richting van r lopen) én loodrecht op de stroom (die in de richting van dl loopt). Elektrische veldlijnen hebben dus wel een oorsprong, namelijk de elektrische lading, en magnetische veldlijnen hebben geen oorsprong. In alle gevallen zijn veldlijnen ononderbroken (een onderbroken veldlijn zou strijdig zijn met alle waarnemingen en dan kunnen we ook al onze vergelijkingen wel in de prullenbak kieperen) en dit betekent dat magnetische veldlijnen ononderbroken lussen moeten zijn zonder begin en einde (want ze hebben geen oorsprong).

Laten we eens even gaan rekenen. We gaan uit van een rechte oneindig lange stroomvoerende geleider en willen weten wat de sterkte van het veld is rondom die draad in een willekeurig punt P:


Figuur 20.3
Voor het veld in P als gevolg van een stukje draad dl geldt:



Om het veld te weten te komen als gevolg van de gehele draad moeten we gaan integreren over de totale draadlengte:



Hieruit blijkt dat de veldsterkte afneemt met de loodrechte afstand tot de draad (de factor 1/b), maar ook dat de veldlijnen cirkels vormen om de draad volgens figuur 20.2. Dit brengt ons bij het volgende boeiende aspect wanneer ik een veldlijn ga integreren over de totale lengte van die veldlijn. Een stukje veldlijn noem ik dl en ik ga een cirkelvormige veldlijn integreren zoals ik die hierboven gevonden heb voor een stroomvoerende geleider:



Ik heb nu een mooie cirkelvormige veldlijn geïntegreerd, maar het mooie is dat dit resultaat altijd geldt, ongeacht de vorm van de veldlijn. Want indien er afwijkingen in de cirkelvorm zitten dan wordt de veldsterkte daar anders (die neemt immers toe of af met de factor 1/b), maar de veldlijn wordt dan ook korter of langer met een factor b (omtrek is evenredig met de straal). En stukjes veldlijn die niet loodrecht op de afstand tot de draad staan tellen niet mee want daar is B = 0 (vergelijking (20.25)). Er geldt dus altijd het volgende en dit is de vierde wet van Maxwell:



Omdat de veldlijnen van het magnetische inductieveld altijd gesloten krommen zijn brengt ons dat in één klap bij het volgende resultaat, namelijk dat voor een gesloten oppervlak geldt dat er altijd evenveel veldlijnen ingaan als uitgaan. Oftewel, de derde wet van Maxwell luidt:



Ik zet de vier wetten van Maxwell even op een rijtje zoals die gelden onder statische omstandigheden:







Maar wat gebeurt er onder dynamische omstandigheden, dus wanneer er ‘dingen’ veranderen in de tijd? De eerste wet van Maxwell zegt dat een lading die een willekeurig (quasi-statisch) ommetje maakt in een elektrisch veld daar per saldo exact nul arbeid voor nodig heeft (de lading verliest onderweg evenveel potentiële energie als dat ie wint). Maar niet wanneer ondertussen het magnetische veld verandert! De inductiewet van Faraday zegt dat het opgebouwde potentiaalverschil exact gelijk is (maar tegengesteld) aan de verandering van de flux door het door het ommetje omsloten oppervlak. De eerste wet van Maxwell, vergelijking (20.9), verandert daarom in:



De rij Maxwell-vergelijkingen wordt daarmee:









De logische vraagt dringt zich op waarom deze wetten eigenlijk de wetten van Maxwell heten? Want tot nu toe heeft Maxwell zelf helemaal niets bijgedragen, hij heeft alleen wat vergelijkingen bij elkaar geschreven die door anderen waren klaargezet. Dat komt omdat Maxwell essentiële onderdelen aan het bouwwerk van het elektromagnetisme heeft toegevoegd waardoor er ineens veel meer inzicht ontstond. Zoals de tweede wet van Maxwell gaat over omsloten lading, zo gaat de vierde wet over omsloten stromen. Door een stroomdichtheid j in te voeren kan ik de vierde wet, vergelijking (20.29), ook schrijven als:



En dan ziet de rij Maxwell-vergelijkingen er zo uit:









Vervolgens redeneerde Maxwell (ongeveer) als volgt. Stel ik heb een wisselspanningsbron met aan iedere klem een stuk draad. Door de stukken draad loopt stroom in hetzelfde ritme waarmee de klemmen van de wisselspanningsbron van polariteit wisselen. Is de ene klem negatief dan laadt het stuk draad dat daarmee verbonden is zich op met een overschot aan elektronen die zich daarna als een speer naar het andere stuk draad spoeden wanneer de polariteit omkeert om even later weer net zo vrolijk terug te keren bij de volgende polariteitsverandering. Echter, wanneer ik daaraan ga rekenen met behulp van vergelijking (20.32) dan krijg ik verschillende uitkomsten afhankelijk van welk te integreren oppervlak ik kies voor het rechterlid. Kies ik een oppervlak waar een stuk draad doorheen gaat dan komt er een stroom i uit, de beweging van de elektronen die zich heen en weer spoeden in de draden, en kies ik een oppervlak waar niet een stuk draad doorheen gaat dan komt er nul uit.


Figuur 20.4
In figuur 20.4 gaat de draad door het te integreren oppervlak, de grijze cirkelschijf. Maar ik kan die grijze cirkelschijf ook helemaal naar rechts oprekken totdat de draad er nergens meer doorheen steekt. De rand van het te integreren oppervlak is dan nog steeds hetzelfde en dus moet de integraal in het linkerlid van vergelijking (20.32) in beide situaties dezelfde uitkomst opleveren. Maar het rechterlid van vergelijking (20.32), de integraal van het oppervlak, levert in het tweede geval nul op. Dit probleem werd door Maxwell ondervangen door een verschuivingsstroom te introduceren tussen de uiteinden van beide draden waar wel een elektrisch veld heerst als gevolg van het ladingsverschil tussen de beide draden. En dit elektrische veld en daarmee ook de verschuivingsstroom fluctueert uiteraard mee in de tijd door het wisselen van de polariteit van de wisselspanningsbron. Vergelijking (20.32) wordt dan:



En zo komen we tot de wetten van Maxwell in hun volle glorie en volledigheid:









Alles wat ook maar enigszins te maken heeft met elektriciteit en magnetisme heeft als fundament de bovenstaande vier vergelijkingen. Van magnetrons en elektriciteitscentrales tot en met (mobiele) telefonie, van medische apparatuur en radar tot en met televisie en atoombommen, het is allemaal ontsproten aan deze wetten van Maxwell.

Indien zich ‘iets’ (een voorwerp, een stuk materie) in een veld bevindt dan gaan zich daarin veranderingen voordoen. De moleculen kunnen zich bijvoorbeeld gaan richten onder invloed van een elektrisch veld. Een watermolecuul bestaat uit twee waterstofatomen en één zuurstofatoom en is niet honderd procent symmetrisch. Aan de kant van de waterstofatomen is een watermolecuul positief en aan de kant van het zuurstofatoom negatief. Dus de waterstofatomen richten zich graag naar de externe negatieve lading en het zuurstofatoom naar de externe positieve lading. Dit soort veranderingen in een stof noemen we polarisatie (onder invloed van een elektrisch veld) of magnetisatie (onder invloed van een magnetisch veld). Statische ladingen en bewegende ladingen veroorzaken elektrische velden respectievelijk magnetische velden en die ladingen heeft men opgedeeld in vrije ladingen en onvrije ladingen (een molecuul dat zich probeert te richten maar gevangen zit in een kristalrooster is behoorlijk onvrij). In woorden is dat:



Geschreven in vectoren gaat dat over in:





Tenslotte dienen we ook nog rekening te houden met de richtingen van de polarisatievector en de magnetisatievector (want die wijzen ‘de andere kant op’ en krijgen daarom een minteken mee) en de eenheden moeten uiteraard ook kloppen. In hun correcte vorm worden de vergelijkingen (20.35) en (20.36) dan:





Ik zal al die termen even overzichtelijk in een tabel zetten:
Grootheid Naam Eenheid
B Magnetische inductieveld kg A−1 s−2 = kg/(C s) = V s/m2
D Diëlektrische verschuiving A s m−2 = C/m2 = A s/m2
E Elektrische veld kg m A−1 s−3 = V/m
H Magnetische veld A m−1 = A/m
M Magnetisatie kg A−1 s−2 = kg/(C s) = V s/m2
P Polarisatie A s m−2 = C/m2 = A s/m2
ε Permittiviteit A2 s4 kg−1 m−3 = F/m
μ Permeabiliteit kg m A−2 s−2 = H/m
Tabel 20.1
Nu gaan we maar weer eens richting het artikel van Einstein. Einstein beperkt zich in deze paragraaf tot het vacuüm en dat betekent dat zowel de magnetisatie als de polarisatie nul is. De vergelijkingen (20.37) en (20.38) reduceren daarmee tot:





In het vacuüm bevinden zich ook geen ladingen en zeker geen stroomvoerende geleiders, dus ρ en j zijn beiden nul. De wetten van Maxwell in vacuüm zijn daarom:









Met de wijsheid van de vergelijkingen (20.39) en (20.40) kan ik de vierde wet ook schrijven als:

Ik breng de stelling van Gauss uit paragraaf 15 weer even voor het voetlicht:



Indien hier nul uit komt dan kan het niet anders zijn dan dat de divergentie in de rechterintegraal ook nul is. Hierdoor zijn de tweede - en derde wet van Maxwell direct om te schrijven naar:





Nu ga ik nog even een wiskundig zijweggetje in zodat ik daarna ook de eerste en vierde wet kan omschrijven. Ik beschouw een infinitesimaal klein rechthoekje ABCD:


Figuur 20.5
Ter plaatse van dit rechthoekje is een veld aanwezig van een bepaalde grootheid Ω (x, y). Deze grootheid varieert in de x-richting en y-richting volgens:





Vervolgens ga ik de kringintegraal uitrekenen van Ω over de omtrek van de rechthoek ABCD:



Deze vier deelintegralen ga ik apart uitwerken. Ik begin met de eerste integraal, het traject van A naar B (ΩAx betekent de x-component van Ω in het punt A, enzovoort):



Vervolgens reken ik de tweede integraal uit, het traject van B naar C:



En de derde integraal, van C naar D:



Tot slot de vierde integraal, van D terug naar A:



Nu ga ik alle resultaten optellen:



Omdat:





En omdat bovendien xA = xD en yA = yB wordt vergelijking (20.53) daarmee:



Bij de voorlaatste stap heb ik de tweede afgeleide verwaarloosd, maar ik had er ook simpelweg voor kunnen kiezen om de oorsprong in het punt A neer te leggen zodat xA en yA beiden nul zijn. En wat nog veel belangrijker is, is dat we hier de z-component van de rotatie hebben staan! Ik heb hier gerekend met een oneindig klein rechthoekje ABCD, maar ik kan heel veel van deze rechthoekjes aan elkaar leggen om een willekeurig oppervlak te vormen waarbij alle randjes die tegen elkaar aanliggen niet bijdragen aan de integraal omdat datgene wat bij de rand van het ene oppervlakje de ene kant opwerkt bij de rand van het aangrenzende oppervlakje precies de andere kant opwerkt. Dit is de rotatie van het veld:



En dit is de component daarvan die loodrecht op het oppervlak staat (als het oppervlak in het x-y-vlak ligt dan vormt zich zo de z-component):

Welkom bij de stelling van Stokes:

Dit zijweggetje moest even bewandeld worden om de andere twee wetten van Maxwell om te kunnen schrijven. Aldus komen we hier op uit:









Vooral in buitenlandse wetenschappelijke teksten gebruikt men lang niet altijd de nabla operator maar gebruikt men de volgende termen:



En dan zien de wetten van Maxwell er zo uit:







En het wordt nog mooier want dit artikel van Einstein stamt uit 1916. Tegenwoordig is een wetenschappelijk artikel doorgaans in het Engels geschreven en de meeste natuurkundige grootheden hebben inmiddels wel een vast symbool. Voor een elektrisch veld gebruik je de letter E en ruimtelijke dimensies duid je aan met x, y en z om maar wat te noemen. Maar aan het begin van de vorige eeuw was dat heel anders. Toen was Duitsland de absolute topper op wetenschappelijk gebied en een wetenschappelijk artikel dat serieus genomen wilde worden was in het Duits geschreven. Het is nu bijna niet meer voor te stellen maar een wetenschapper die geen Duits sprak was toen net zo gehandicapt als een wetenschapper nu die het Engels niet beheerst. Omdat men zich destijds van het Duits bediende gebruikte men ook Gotische letters en om het extra ingewikkeld te maken voor lezers uit onze tijd waren de grote mannen zoals Einstein, Minkowski en Lorentz niet unaniem in het gebruik van die Gotische letters. Bovendien houdt Einstein de ladingsdichtheid en de stroomdichtheid er hier gewoon in, ofschoon deze paragraaf in de titel heeft staan dat we de vacuümsituatie beschouwen. Ik schrijf de wetten van Maxwell nu op zoals Einstein dat in zijn artikel heeft gedaan waarbij het Engelse “curl” uiteraard vervangen wordt door “rot” (van het Duitse “Rotation”) en ik laat ook de vectorpijltjes weg. Kijk en huiver:









Oftewel:



Dan wil ik nu iets zeggen over potentiaalfuncties, want dat is tenslotte waar Einstein ook over begint. Ik ga uit van twee willekeurige vectorvelden u en v en met de eerste maak ik het volgende sommetje:



Met andere woorden, indien:



Dan moet gelden:



De derde wet van Maxwell zegt dat de divergentie van het magnetische veld nul is, en dat betekent dus dat er een veld bestaat waarvoor geldt:



Dit voeren we terug in Maxwell’s eerste wet:



En hiervoor moet een scalarveld bestaan zodanig dat:



Ψ en φ zijn de elektromagnetische potentiaalfuncties en nu gaan we (pas) echt aan de slag.

Einstein gaat uit van een covariante viervector φν en stelt dat als de elektromagnetische potentiaal. Vervolgens pakt hij er vergelijking (11.45/E36) uit paragraaf 11 bij:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Hij stopt daar de vector φ in:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En maakt dan het volgende sommetje:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Maar waarom maakt Einstein bovenstaand sommetje? Daarvoor grijpt hij terug naar vergelijking (11.49/E37):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



In paragraaf 11 heb ik laten zien dat in bovenstaande vergelijking de tensor B anti-symmetrisch is indien de tensor A dat ook is.

Vervolgens merkt Einstein op dat de vergelijking (20.77/E60) in essentie maar vier verschillende vergelijkingen omvat. Klopt dat wel, want σ, ρ en τ variëren alledrie van één tot en met vier en dan kom ik op 4 × 4 × 4 = 64 vergelijkingen? Kortom, dat willen we controleren. Nu niet schrikken, ik ga ze gewoon ‘effe’ allemaal uitschrijven:









Uit vergelijking (20.76/E59) is duidelijk te zien dat de componenten van de tensor F met gelijke indices nul zijn:



Dus ik ga alle termen verwijderen die twee gelijke indices hebben:









Verder blijkt uit vergelijking (20.76/E59) ook dat:



En dit is helemaal in overeenstemming met een anti-symmetrische tensor. Dat betekent wel dat ik uit het bovenstaande rijtje alle vergelijkingen kan verwijderen die in het linkerlid twee termen hebben:





Wat er nu nog over is ga ik voor de overzichtelijkheid sorteren op benedenindex (de index in de noemer):





Nu zie ik heel wat dubbele vergelijkingen staan, bijvoorbeeld de eerste en de derde. Alle dubbele vergelijkingen verwijder ik ook en dan blijft dit nog over:



En met de wijsheid van vergelijking (20.79) kan ik ook inzien dat de eerste vergelijking overeenkomt met de tweede, de derde met de vierde, de vijfde met de zesde en de zevende met de achtste. Oftewel, de tweede, derde, vijfde en achtste vergelijking kunnen ook weg:



Door de volgorde van de termen en de vergelijkingen te herschikken kom ik uiteindelijk tot:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Door nu te stellen dat:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En dit vervolgens in te voeren in het viertal vergelijkingen (20.80/E60a):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En dan staan daar ineens weer de eerste en de derde wet van Maxwell! De tensor F is in de geschiedenisboeken terecht gekomen als de elektromagnetische tensor. Voluit geschreven ziet deze tensor er zo uit:



Van de covariante elektromagnetische tensor kunnen we uiteraard ook een contravariante versie maken als volgt:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Einstein introduceert ook een viervector Jμ die de stroomdichtheid in het vacuüm weergeeft. Hij pakt vergelijking (11.61/E40) erbij:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Daarmee kunnen we stellen dat (omdat √ (−g) = 1):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Door nu te stellen dat:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En:



Dan worden de vier vergelijkingen (20.85/E63):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En dan staan daar ineens de tweede - en vierde wet van Maxwell! Voluit geschreven ziet de contravariante elektromagnetische tensor er zo uit:



Heel compact opgeschreven in tensornotatie zijn dit de wetten van Maxwell:





Verder merkt Einstein nog op dat de componenten van Fαβ en Fμν aan elkaar gelijk worden in het speciale geval van de speciale relativiteitstheorie. In dat geval zijn alle componenten van de metrische tensor die niet op de diagonaal liggen gelijk aan nul en kan ik voor vergelijking (20.84/E62) ook schrijven:



Maar zo simpel ligt het nu even niet. Dit zijn de tensoren zoals ik die uitgeschreven heb in (20.83) en (20.89):





Deze ga ik nu opschrijven in moderne notatie:





De rechtsonder component van de metrische tensor heeft een afwijkend teken van de drie andere componenten op de diagonaal, dus indien de component g44 betrokken is bij de vermenigvuldiging dan wisselt de component van F van teken en dit gebeurt dus voor de componenten die in de rechterkolom en de onderste rij zitten. Maar hoe veranderen de B’s in H’s en de E’s in D’s?

Toen ik overging van vergelijking (20.42) naar (20.43) heb ik links en rechts gedeeld door μ0:





Ik ben dus onderweg een factor μ0 kwijtgeraakt! Die kan ik er weer inbrengen door Fμν met μ0 te vermenigvuldigen:



Of door Fαβ door μ0 te delen:



Zo transformeren de B’s in H’s en vice versa. Indien ik voorheen μ0 niet uitgedeeld had dan was dit uiteraard gelijk goed gegaan. Maar nu heb ik die factor μ0 ook staan bij de E’s en de D’s, hoe kunnen we dat rechtbreien? Daarvoor ga ik even het volgende zijpaadje bewandelen. De eerste wet van Maxwell zegt dat een veranderend magnetisch veld een elektrisch veld opwekt:



En Maxwell’s vierde wet zegt dat een veranderend elektrisch veld een magnetisch veld opwekt:



Oftewel, het elektrische veld en het magnetische veld doen een soort haasje-over:


Figuur 20.6
Dus stel dat ik het volgende elektrische veld heb dat sinusvormig varieert:


Figuur 20.7
Dan genereert dit elektrische veld daardoor een, eveneens sinusvormig, magnetisch veld:


Figuur 20.8
Zoals we aan het begin van deze paragraaf geleerd hebben staan het elektrische veld en het magnetische veld loodrecht op elkaar. In bovenstaand plaatje is het elektrische veld blauw en het magnetische veld rood. Wat we hier zien ontstaan zijn elektromagnetische golven. Laten we eens proberen om deze golven wiskundig te maken.

Ik zoom in op de sinus van figuur 20.7:


Figuur 20.9
Het elektrische veld E heeft een bepaalde waarde bij x1 en het heeft een andere waarde bij x2, en x2 ligt een infinitesimaal stukje dx voorbij x1. Vervolgens laat ik hier de eerste wet van Maxwell (vergelijking (20.31)) op los en ga ik integreren (tegen de wijzers van de klok in) via de blauwe route in onderstaande figuur:


Figuur 20.10
Dat levert dit op:



De eerste en de derde integraal zijn nul omdat er geen elektrisch veld in de x-richting is. Verder is het zo dat het verschil in de elektrische veldsterkte tussen x1 en x2 gelijk is aan de partiële afgeleide van het elektrische veld naar x maal de afstand dx:



Het oppervlakje dat omsloten wordt door de kringintegraal is uiteraard willekeurig, en kan dus uitgedeeld worden, en het resulterende magnetische veld staat loodrecht op het elektrische veld en steekt in dit geval (figuur 20.10) uit het scherm (= de z-richting):



De vierde wet van Maxwell (vergelijking (20.33)) kan ik op volledig analoge wijze gebruiken (als de bovenstaande afleiding) om het resulterende elektrische veld te berekenen in geval van een variërend magnetisch veld en dat levert dan het volgende op:



Vervolgens differentieer ik zowel vergelijking (20.99) als vergelijking (20.100) een keer naar t en een keer naar x:









Uit de combinatie van (20.104) en (20.101) volgt:



En uit de combinatie van (20.102) en (20.103) volgt:



De vergelijkingen (20.105) en (20.106) parkeer ik even en nu ga ik ook nog een zijpaadje van dit zijpaadje in. Stel ik heb een touw, en dat touw is aan de beide uiteinden vastgebonden. Ik zorg dat het touw flink strak staat en daardoor werkt er een kracht op het touw ter grootte van F. Vervolgens pak ik het touw ergens vast, ik geef het een uitwijking in verticale richting en vervolgens laat ik het weer los. De verticale uitwijking zal zich nu in horizontale richting door het touw gaan verplaatsen, als golfbeweging, en dat aspect gaan we nader onderzoeken. Ik zoom in op een heel klein stukje van het touw:


Figuur 20.11
Voor de helling van het touw geldt:



De helling van het touw bij x1 is:



En de helling van het touw bij x2 is:



Het verschil tussen beide hellingen is:



Voor kleine verticale uitwijkingen geldt dat tangens φ (nagenoeg) gelijk is aan sinus φ:



In het geval dat x2 nadert naar x1 gaat vergelijking (20.111) over in:



Hetgeen ik ook kan schrijven als:



Vervolgens ga ik Newton’s wet F = ma toepassen:



Ik introduceer ρ als massadichtheid van het touw:



Tenslotte differentieer ik deze vergelijking naar de tijd:



Wat hebben we nu bereikt? Bovenstaande vergelijking beschrijft de golf die door het touw loopt. Een sinusvormige golf die met golflengte λ en snelheid u door het touw beweegt (in de x-richting) wordt beschreven door:



Hiervan is de tweede afgeleide naar de tijd:



En de tweede afgeleide naar x is:



Deze twee differentieerresultaten stop ik in vergelijking (20.116):



En dan blijkt ‘ineens’ dat de snelheid van de golf te berekenen is uit de spankracht van het touw en de massa van het touw! Nu gaan we wat resultaten samenpakken, ik zet de vergelijkingen (20.105), (20.106) en (20.116) even onder elkaar:







Dit zijn dezelfde differentiaalvergelijkingen! We hebben gezien dat voor de snelheid van de golf-in-het touw geldt:



Dus dan moet voor de snelheid van de elektromagnetische golf gelden:



En het wordt nog spectaculairder, want dit getal herkende men wel (destijds in de 19e eeuw). Het volgende is namelijk het geval:



Oftewel:



En:



Na deze lange omweg keer ik met dit resultaat weer terug naar de hoofdweg die ik verlaten heb bij de vergelijkingen (20.95) en (20.96). Ik ga eerst verder met (20.95):



En (20.96) wordt:



In dit artikel van Einstein is voor het gemak c gelijk gesteld aan één en daarmee gaan de tensoren Fαβ en Fμν in het geval van de speciale relativiteitstheorie inderdaad naadloos in elkaar over. Onze vriend met de snor heeft (uiteraard) gelijk. Voor de volledigheid geef ik hier de covariante elektromagnetische tensor en de contravariante elektromagnetische tensor in moderne notatie:





Dan kunnen we nu verder met het volgende onderdeel van deze paragraaf, want Einstein is weer lekker op dreef en gaat nog even door. Hij stelt het volgende inwendig product samen:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Deze vier vergelijkingen ga ik uitschrijven:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



De eenheid van xi (i = 1, 2, 3) is:



En de eenheid van x4 is:



Met andere woorden: de eerste drie componenten van xσ zijn impulsen per tijdseenheid en per volume-eenheid. De vierde component van xσ is energie per tijdseenheid en per volume-eenheid. Nauwkeuriger gezegd: het is impuls en energie die per tijdseenheid en per volume-eenheid overgedragen wordt.

Ik ga de componenten van J (zie vergelijking (20.87)) iets anders opschrijven (dit ziet er wellicht een beetje verwarrend uit, want een Gotische i is de stroomdichtheid en een Latijnse i is de elektrische stroom, A is de doorsnede van de geleider):



In de vorige paragraaf hadden we het over vloeistoffen en toen kwam deze vergelijking, die de wet van behoud van massa voorstelt in een vloeistof, langs:



Zoals er een behoudswet voor massa is, zo is er ook een behoudswet voor lading. Dus als ik in bovenstaande vergelijking voor ρ niet de massadichtheid lees maar de ladingsdichtheid dan stelt deze vergelijking de wet van behoud van lading voor. En dat past inderdaad ook naadloos met de componenten van J zoals ik die in vergelijking (20.133) heb omgeschreven. Met andere woorden, zo kun je de wet van behoud van lading ook opschrijven:



Zo is het wellicht wat gemakkelijker in te zien dat vergelijking (20.129/E65) de overdracht voorstelt van impuls en energie. En overdracht waarnaartoe dan? Naar het elektro-magnetische veld. En waar komt die impuls en energie die overgedragen wordt dan vandaan? Dat komt van andere invloeden die werkzaam zijn, bijvoorbeeld de zwaartekracht. Einstein zegt dan ook dat indien geladen deeltjes zich in een elektro-magnetisch veld bewegen en alleen onder invloed van dat elektro-magnetische veld, dan is er niets om over te dragen. Einstein noemt dat “vrije elektrische massa’s” en in dat geval moet gelden:



De combinatie van de vergelijkingen (20.129/E65) en (20.85/E63) levert op:



Hiervan ga ik de rechterterm verbouwen als volgt (met gebruikmaking van vergelijking (20.77/E60)):



Met behulp van vergelijking (20.84/E62) kan ik dit vervolgens omschrijven naar:



De resultaten van de vergelijkingen (20.137) en (20.138) stop ik in vergelijking (20.136):



Vervolgens geef ik zo ongeveer alle dummy indices een andere naam:



Door nu te stellen dat:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Dan kan ik vergelijking (20.140) ook schrijven als:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Dat willen we natuurlijk wel even controleren:



Ik roep vergelijking (11.16/E29) even in herinnering:



Daarmee kan ik de laatste term van vergelijking (20.143) ook schrijven als:



En omdat we nog steeds bezig zijn onder de aanname dat √ (−g) = 1 volgt daaruit dat de logaritme van −g gelijk is aan nul, en dus valt de laatste term van vergelijking (20.144) er helemaal uit (die laatste term is nul):



Hetgeen inderdaad exact gelijk is aan vergelijking (20.140) en dat was wat we wilden controleren:



Ik ga nog even met vergelijking (20.142/E66) knutselen:



En daar zet ik vergelijking (18.9/E57) onder:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En dit is helemaal in lijn met wat Einstein eerder al stelde:



Dus de tensor Tσν, zoals die gesteld is in vergelijking (20.141/E66a), is inderdaad de energietensor van het elektro-magnetische veld en dat wilde Einstein hier expliciet duidelijk maken.

Deze energietensor gaan we nog verder onderzoeken, maar eerst gaan we uitzoeken wat de energie is die besloten is in het elektromagnetische veld volgens de klassieke (pre-relativistische) theorie. Zoals we inmiddels weten wekt een elektrische lading een elektrisch veld op (waarbij ik de vectoraanduidingen gemakshalve nu even achterwege laat):



Dit kan ik ook opschrijven als:



Die 4πr2 is het oppervlak A van een denkbeeldige bol die de lading q omsluit. Ik kan dus ook schrijven:



Stel dat ik twee vlakke platen heb met een oppervlak gelijk aan A en een afstand d van elkaar verwijderd, waarbij de ene plaat een lading +q heeft en de andere plaat een lading −q heeft, dan geldt deze relatie ook voor het elektrische veld tussen de twee platen (stelling van Gauss, tweede wet van Maxwell). Ik hoop dat je kunt aanvoelen dat de platen oneindig groot zijn ten opzichte van de ladingsdragers die er op zitten en dat de ene plaat de andere bij benadering ‘helemaal omsluit’. Vergelijking (20.149) beschrijft dus ook het homogene veld tussen de twee platen.

Stel nu dat ik elektronen uit de ene plaat ga lospulken en die naar de andere plaat breng waar al een overschot aan elektronen is. Dan moet ik arbeid verrichten want die elektronen zullen afgestoten worden door de reeds aanwezige elektronen op de andere plaat (gelijksoortige ladingen stoten elkaar af). Per elektron moet ik een beetje kracht dF gebruiken om de afstand d te overbruggen en dat kost mij een beetje arbeid:



Verder weten we dat F = qE (vergelijking (20.5)):



De totale arbeid die ik verricht is de som van alle beetjes:



Deze arbeid die ik verricht wordt als energie toegevoegd aan het veld. Indien ik de energie-inhoud van het elektrische veld wil weten per volume-eenheid (en dat wil ik), dan moet ik nog delen door het volume tussen de platen zijnde V = Ad:



Voor het magnetische veld kan ik een soortgelijke afleiding volgen en dan kom ik tot de energie-inhoud van het magnetische veld:



De energie-inhoud (in vacuüm, per volume-eenheid) van het elektromagnetische veld is aldus de som van (20.153) en (20.154). Ik gebruik hiervoor het symbool U (in plaats van E) om geen verwarring te laten ontstaan met het elektrische veld:



Met dit belangrijke resultaat gaan we verder werken. We hebben nu weliswaar de energie-inhoud van het elektromagnetische veld uitgerekend, maar omdat elektromagnetische golven zich (uiteraard) voortbewegen is het ook interessant om de energiestroom van die elektromagnetische golven uit te rekenen. We gaan wederom uit van golven die zich voortplanten in de x-richting, waarbij het elektrische veld fluctueert in de y-richting en het magnetische veld fluctueert in de z-richting. Nu ga ik (20.155) eerst differentiëren naar de tijd:



Ik roep de vergelijkingen (20.99) en (20.100) er weer even bij:





Daarmee kan ik (20.156) ook schrijven als:



Omdat Ez en Hy beide nul zijn mag ik het product van die twee termen er natuurlijk van aftrekken want dat verandert niets aan het resultaat (iets min nul is nog steeds hetzelfde iets):



Door de richtingen van E en H en de voortplantingsrichting van de golf anders te kiezen verkrijg ik via dezelfde afleiding:





De vergelijkingen (20.158) kan ik samenpakken in één vectorvergelijking:



Het uitwendig product van E en H vormt de Poynting-vector S:



Waardoor (20.159) overgaat in:

De Poynting-vector is genoemd naar John Poynting en deze vector (de grootte daarvan) beschrijft de snelheid van de energiestroom door een eenheidsoppervlak dat loodrecht op de richting van de energiestroom staat. De eenheid van de Poynting-vector is Watt-per-vierkante-meter = W/m2. Dus de energie U (vergelijking (20.155)) is de energie-per-volume-eenheid die besloten ligt in het elektromagnetische veld, de elektromagnetische golven, en de Poynting-vector S (vergelijking (20.160)) is de energiestroom-per-oppervlakte-eenheid van dat elektromagnetische veld.

Nu hebben we alles klaarstaan om aan de laatste etappe van deze paragraaf te kunnen beginnen. Ik ga het product Fαβ Fαβ uitrekenen, oftewel ik neem het product van de tensor:



Met de tensor:



Dat ziet er als volgt uit:



Of in moderne notatie:



Vervolgens reken ik het product Fσα Fνα uit:



Deze wijsheid neem ik mee en nu ga ik de 16 componenten van de energietensor Tσν uitschrijven en ik schrijf ze gelijk om naar moderne notatie en ik streep onderweg de c’s weg want in dit artikel geldt dat c = 1. Wederom geldt, kijk en huiver:

































Deze 16 componenten pak ik allemaal samen en dan ziet de energietensor er zo uit:



Door te stellen dat:



Daarmee kan ik de energietensor ook opschrijven als volgt:



Of nog compacter opgeschreven:



Ik ga van deze gemengde energietensor een covariante energietensor maken als volgt:



Ik ga dit uitwerken waarbij ik voor het gemak de ruimtelijke dimensies samenpak middels de indices i en j en ik ga uit van een metrische tensor volgens de speciale relativiteitstheorie:









Samengevat ziet de covariante energietensor er dan zo uit:



Oftewel, in het geval van de speciale relativiteitstheorie volgt uit de tensor van het elektro-magnetische veld en de energietensor hoe de energie-inhoud en de energiestroom zijn volgens de klassieke (pre-relativistische) theorie. En dat is iets wat Einstein nog ‘effe’ opmerkt... (“... man zeigt leicht daβ ...”).

Tot slot komt Einstein nog een keer terug op het feit dat we ons overal doorheen gewerkt hebben onder de aanname dat √ (−g) = 1. Want is dat nou gerechtvaardigd of niet? Kennelijk zat dat Einstein ook niet helemaal lekker, want anders zou hij er niet nog een keer over beginnen. Hij begint met de verdediging dat door de aanname dat √ (−g) = 1 er een forse vereenvoudiging van alle vergelijkingen en berekeningen is opgetreden. Vervolgens merkt Einstein bondig op dat hij hier omvangrijke berekeningen over gemaakt heeft (over het loslaten van √ (−g) = 1 en te rekenen zonder enige beperkende aanname), maar dat het niets op zou leveren om daarover in dit artikel iets over mee te delen want dat levert in essentie toch niets nieuws op. Het levert geen nieuwe inzichten op en voegt dus simpelweg niets toe. Punt. Einstein heeft gesproken.

Zo zijn we gekomen aan het einde van een hele lange paragraaf over het elektro-magnetisme en tevens aan het einde van dit hoofdstuk. Het is een zeer omvangrijk verhaal geworden met vele vergelijkingen waarin het hele elektro-magnetisme vanaf de grond opgebouwd wordt en vervolgens gekoppeld wordt aan de algemene relativiteitstheorie. We gaan nu verder met het laatste hoofdstuk van het artikel van Einstein waarin de link gelegd wordt met de zwaartekrachtwet van Newton en met verschijnselen in de echte wereld (en niet die van de abstracte wiskunde).