Differentiëren: y = xn

Trefwoorden/keywords: afgeleide/derivative, differentiëren/differentiation, y = xn





Voor het differentiëren van deze functie gaan we uit van de definitie van de afgeleide. Laten we eerst eens een aanloopje nemen door het differentiëren van y = x0 = c:



Vervolgens differentiëren we y = x1 = x:



En vervolgens differentiëren we y = x2:



We gaan nog een stapje verder door y = x3 te differentiëren:



En als laatste pakken we ook nog y = x4:



Onmiskenbaar ontstaat de volgende regelmaat:



De uitdaging is dus om de afgeleide te vinden voor een willekeurige exponent n:

Ik heb hiervoor telkens de haakjes weggewerkt van (x + ∆x), maar dat gaat nu niet recht-toe-recht-aan werken omdat er als exponent geen getal staat maar de variabele n. Lang geleden heeft Newton daar reeds een regenachtige dag aan besteed (of een hele mooie stralende dag) en daar is het binomium van Newton uit voortgekomen:



Die breuk met die faculteiten heten de binomiaalcoëfficiënten en die noteren we als volgt:



En dat spreken we uit als “n boven k”. Het binomium gaat daardoor over in:



Hiermee keren we terug naar ons oorspronkelijke differentieerprobleem:



Ik ga nu de eerste twee termen van de somreeks uitschrijven en dat brengt ons bij het eindresultaat:



Er is ook nog een andere aanpak van dit differentieerprobleem mogelijk met behulp van logaritmisch differentiëren:





De afgeleide wordt dan: