Astronomie, vraagstuk 1

Hoe bereken je de ontsnappingssnelheid, de snelheid die nodig is om te ontsnappen aan het zwaartekrachtveld van een hemellichaam?

De zwaartekracht (gravitatie) die twee lichamen op elkaar uitoefenen wordt gegeven door een wet van Newton:

Wanneer ik een stukje dr beweeg in dit zwaartekrachtveld dan verricht ik een beetje arbeid dW. Die arbeid wordt gegeven door:



Hierin is φ de hoek tussen Fg en dr. Indien ik aan de zwaartekracht probeer te ontsnappen dan gaat het om de beweging die ik maak evenwijdig aan de veldlijnen van het zwaartekrachtveld. Dan is de hoek φ = 0 en cos φ = 1. De formule voor de arbeid vereenvoudigt daarmee tot:



Alle arbeid die ik in totaal verricht totdat ik ‘los’ ben van de zwaartekracht is de som van al deze beetjes dW:

Wat zijn de grenzen r1 en r2 van de integraal? Mijn vertrekpunt is het oppervlak van het hemellichaam waar ik op sta, dus dan is r1 = R (R is de straal van dat hemellichaam, bijvoorbeeld de Aarde). En ik wil uiteindelijk helemaal loskomen, dus ik wil naar oneindig toe: r2 = ∞. Daarmee wordt de totale arbeid uiteindelijk:



Dit is de energie die het mij kost om aan de zwaartekracht te ontsnappen. Dus ik heb nu uitgerekend hoeveel energie ik moet investeren, en die energie moet ik aan het begin van mijn reis meekrijgen als kinetische energie (bewegingsenergie). De formule voor kinetische energie is:



Ik ga er hierbij vanuit dat ik in de beginfase van mijn reis flink snelheid maak en vervolgens de motoren uitzet. Dus mijn beginsnelheid is allesbepalend voor hoever ik ga komen. Het kost mij dus energie om te ontsnappen aan de zwaartekracht en die ga ik inbrengen in de vorm van kinetische energie.



Hierin heb ik m1 gekozen als de massa van het hemellichaam en m2 als de massa van mijzelf. Nu ga ik uit deze vergelijking de snelheid oplossen:

En zo hebben we de formule voor de ontsnappingssnelheid gevonden. Vervolgens pakken we de gegevens van de Aarde erbij. Hieruit volgt voor v = 11.2 km/s, ruim veertigduizend km/uur!

Om ons zonnestelsel te kunnen verlaten moet de zwaartekracht van de Zon overwonnen worden. Daarvoor zoeken we de gegevens van de Zon op. Hieruit volgt voor v = 618 km/s, meer dan twee miljoen km/uur! Het goede nieuws is dat we niet vertrekken vanaf het oppervlak van de Zon, maar vanaf de Aarde. En de Aarde staat op 150 miljoen kilometer van de Zon, dus dat helpt flink. Als we dan de benodigde snelheid uitrekenen volgt v = 42 km/s. En er is nog meer goed nieuws, de Aarde draait met een snelheid van bijna 30 km/s om de Zon. Door hier handig gebruik van te maken en slim te manoeuvreren zijn we echt wel in staat om met onze huidige ‘primitieve’ technieken ons zonnestelsel te verlaten.