Vectoren, vraagstuk 79

Bereken de volgende integraal:



Waarbij T de driehoek is met hoekpunten:







Deze driehoek heeft een naar boven gerichte eenheidsnormaal en het vectorveld v is:

Ik ga eerst twee richtingsvectoren berekenen voor het vlak T:





Dan kan ik T beschrijven als volgt:



Echter, op deze manier beschrijf ik de totale tweedimensionale ruimte waar de punten a, b en c zich in bevinden. Ik zal wat beperking aan moeten brengen:



Dit is beter, maar nu beschrijf ik een parallellogram in plaats van een driehoek. Er moet een afhankelijkheid tussen u en v ingebracht worden:



Dit is het ook niet want nu heb ik de beschrijving van een lijn. De afhankelijkheid tussen u en v moet ik ergens anders zoeken:



Dit is de juiste beschrijving van de driehoek T. Ik schrijf T even iets anders op:



Hieruit kan ik aflezen dat:







Daarmee kan ik het vectorveld ook schrijven als:



Vervolgens bepaal ik de partiële afgeleiden van T:





Het is niet verrassend dat dit uiteraard weer de beide richtingsvectoren oplevert. Het uitwendig product hiervan is dA en dit is tevens de normaalvector:



Omdat de normaalvector naar boven gericht moet zijn (z-component > 0) dien ik dA met −1 te vermenigvuldigen:



Het inwendig product vdA wordt dan:



Daarmee wordt de integraal: