Relativiteitstheorie, vraagstuk 12

Leid de Lorentz-transformaties af.
Wanneer twee waarnemers, P en Q, ten opzichte van elkaar bewegen ontstaat er tijddilatatie en lengtecontractie De Lorentz-factor γ geeft aan in welke mate tijd en afstand bij de ander krimpen:



Voor de waarnemer, de ‘niet-beweger’, geldt altijd: Andere niet-bewegers zullen klokken hebben die net zo snel tikken en meetlatten die net zo lang zijn, maar alle andere ‘bewegende dingen’ in het universum zullen, vanuit zijn gezichtspunt, vertragen en krimpen:





In deze vergelijkingen is t de tijd en met x duid ik ruimte aan. De index p staat voor de (stilstaande) waarnemer en de index q geeft het andere referentiestelsel aan dat met een snelheid v beweegt ten opzichte van de waarnemer.

De bovenstaande twee vergelijkingen geven aan hoe een seconde of een meter in het ene stelsel zich verhoudt tot een seconde of een meter in het andere stelsel. Het is natuurlijk beter als we in zijn algemeenheid tijd en ruimte in het ene stelsel kunnen omrekenen naar tijd en ruimte in het andere stelsel. In twee referentiestelsels, P en Q, die met een onderlinge constante snelheid v bewegen ziet een waarnemer in P het stelsel Q met een snelheid +v voorbijkomen en een waarnemer in Q zal zeggen dat het stelsel P met een snelheid −v voorbijkomt. Deze snelheden worden afstanden door ze met de tijd te vermenigvuldigen:





Deze afstanden ondergaan lengtecontractie gezien vanuit het andere referentiestelsel:





Dit kan ik combineren met de vergelijkingen (2):





Oftewel:



Dit is weliswaar een fraai kwalitatief verhaal, maar kunnen we dit wiskundig wat beter dichttimmeren? Het antwoord is uiteraard: ja. We gaan daarvoor uit van een specifieke gebeurtenis: het flitsen van een lampje. Deze lichtflits is een bolvormig golffront van licht dat zich in alle richtingen uitbreidt en dit moet door alle waarnemers identiek waargenomen worden, want de lichtsnelheid is immers voor alle waarnemers gelijk. De straal van deze lichtbol noem ik r. In het ene stelsel geldt dan:



En in het andere stelsel geldt:



Voor de straal van de bol geldt in het ene stelsel respectievelijk het andere stelsel:





Deze drie dimensies reduceren we voor het gemak tot één dimensie, dat maakt voor de essentie van dit verhaal niets uit:





Daarmee kan ik de vergelijkingen (7) ook schrijven als:





De bovenstaande twee vergelijkingen schrijf ik even iets anders op:





Kan ik de vergelijkingen (11) nu zomaar aan elkaar gelijk stellen?

Nee, dit is appels met peren vergelijken want we stellen de loop der gebeurtenissen in het ene stelsel zomaar gelijk aan de gebeurtenissen in het andere stelsel. Wanneer ik c oplos uit vergelijking (12) krijg ik:



Terwijl uit de vergelijkingen (11) volgt:





Dit zijn overduidelijk verschillende resultaten. Wat we daarentegen wel weten is dat het ene stelsel via lineaire (eerste orde) vergelijkingen om te rekenen moet zijn naar het andere stelsel, want alle lijnen in een ruimtetijddiagram zijn rechte lijnen (omdat we hier uitgaan van een constante snelheid). En rechte lijnen duiden op lineaire vergelijkingen. Daarom kunnen we stellen:



Dit ga ik splitsen in:





Door de vergelijkingen (16) bij elkaar op te tellen respectievelijk van elkaar af te trekken krijg ik:





Ik stel nu:





Waarmee de vergelijkingen (17) veranderen in:





Hierboven staan de p-parameters als functie van de q-parameters maar ik kan natuurlijk ook de q-parameters als functie van de p-parameters uitdrukken. Daarvoor neem ik ρ maal vergelijking (19a) en daar tel ik σ maal vergelijking (19b) bij op:



En ik doe ook nog een keer het omgekeerde, ik neem σ maal vergelijking (19a) en daar tel ik ρ maal vergelijking (19b) bij op:



In de oorsprong van het P-stelsel geldt permanent xp = 0. Dit vul ik in in de vergelijkingen (19):





Ik heb nu twee vergelijkingen met drie variabelen dus ik kan iedere variabele als functie van één andere variabele schrijven:







In de oorsprong van het Q-stelsel geldt permanent xq = 0. Ook dit vul ik in in de vergelijkingen (19):





Ik heb nu wederom twee vergelijkingen met drie variabelen dus ik ga weer iedere variabele als functie van één andere variabele schrijven:







Nu kan ik conclusies gaan trekken. Wanneer ik mij bevind in het P-stelsel dan zie ik het Q-stelsel met een snelheid +v voorbijkomen en vanuit het Q-stelsel zie ik het P-stelsel met een snelheid −v passeren. Dit komt tot uitdrukking in de vergelijkingen (22a) en (24a), dus:



De vergelijkingen (22b) en (24b) beschrijven de tijddilatatie van het ene stelsel ten opzichte van het andere stelsel. Uit (24b) volgt daarom dat ρ gelijk is aan γ:



En uit (22b) volgt (waarbij ik direct gebruik maak van de vergelijkingen (25) en (26a)):



De beide vergelijkingen (22b) en (24b) zijn dus volledig in overeenstemming met elkaar en met (2a).

De vergelijkingen (22c) en (24c) beschrijven de lengtecontractie van het ene stelsel ten opzichte van het andere stelsel. Uit (24c) volgt:



En uit (22c) volgt:



Ook de beide vergelijkingen (22c) en (24c) zijn dus volledig in overeenstemming met elkaar en met (2b).

Zowel ρ als σ zijn nu bekend en die gaan we invullen in de vergelijkingen (19) en (20). Invullen in (19) levert op:





En invullen in (20) levert op:





Laten we na al dit gereken onze resultaten even bij elkaar zetten:







Kijk eens hoe mooi dit uitkomt, inclusief de juiste plus- en mintekens op de juiste plaats. Hier staat hetzelfde als de vergelijkingen (6) maar dan met een veel degelijker fundament. Deze vier vergelijkingen hebben onze landgenoot Hendrik Antoon Lorentz wereldberoemd gemaakt en staan tegenwoordig te boek als de Lorentz-transformaties.