Het elektrische veld van een lange geladen geleider

Bereken het elektrische veld van een hele lange geladen geleider. Ga uit van een vacuüm omgeving.
Ik heb een hele lange geleider waar een elektrische lading Q op zit. Mijn x-as kies ik zo dat die precies loodrecht op de geleider staat en de oorsprong leg ik op de geleider, de geleider valt dus samen met de y-as. Vervolgens ga ik bepalen wat het elektrische veld is in een punt P ergens op die x-as. Daarvoor beschouw ik eerst een infinitesimaal stukje dl van de geleider. Ik heb een plaatje gemaakt van de situatie:
Voor de ladingsdichtheid van de geleider geldt:
Het infinitesimale beetje lading op het stukje dl is dan:

De Coulomb

Dit beetje lading veroorzaakt een elektrisch veld in het punt P volgens de wet van De Coulomb:

Dit veld is gericht langs r en kent een x-component en een y-component, zie het plaatje hieronder:
De y-component daar ben ik niet in geïnteresseerd, want om symmetrieredenen is nu al wel in te zien dat de y-component van het veld in het punt P uiteindelijk als gevolg van de gehele geleider nul zal zijn. Daarom richt ik mij alleen op de x-component en komt er bij vergelijking (3) de cosinus van α bij in:
Voor x geldt:
En voor y geldt (waarbij ik gelijk gebruik maak van vergelijking (5)) :
Hiermee wordt vergelijking (4):
En de laatste stap is om dit te integreren over de totale lengte van de geleider. Omdat de geleider “heel erg lang” is loopt de hoek α bij zeer goede benadering van −π/2 to +π/2:
Tenslotte wil ik die λ er weer uitwerken: