Oplossing voor de wet van Poisson
Vind een algemene oplossing voor de wet van Poisson.
Dit is de wet van Poisson:
Om hiervoor een oplossing te vinden maak ik gebruik van de
stelling van Green:
Hierin zijn S en T twee scalarvelden.
Voor het ene scalarveld kies ik (uiteraard) φ:
En voor het andere scalarveld kies ik een verzameling punten waarvan ieder punt voldoet aan:
En r is de afstand tot de oorsprong, en in die oorsprong bevindt zich het punt waarvan ik de potentiaal
wil bepalen (lees: de wet van Poisson wil oplossen).
Vergelijking (2) komt er dan zo uit te zien:
De wet van Poisson kan ik nu zo invullen:
Ik pak twee termen eruit en die ga ik even apart uitwerken:
Hiermee wordt vergelijking (6):
Zo, ik ben alvast één term kwijt en het ziet er sowieso al een stuk overzichtelijker uit.
Hoogste tijd om eens na te gaan denken over de
grenzen van de
integralen.
Mijn uiteindelijke doel is om een uitdrukking te vinden voor de potentiaal in de oorsprong.
Om die oorsprong leg ik twee bolvormige oppervlakken aan met stralen r
1 en r
2
(r
2 > r
1).
Voor de duidelijkheid maak ik even een dwarsdoorsnede:
Die twee bollen vormen samen het oppervlak van de
oppervlakte
integraal
(het linkerlid van vergelijking (8)) en de ruimte tussen de twee bollen is het volume van de
volume
integraal
(het rechterlid van vergelijking (8), het groene vlak in het bovenstaande plaatje):
Merk op dat bij de linker
integraal
het minteken is verdwenen, omdat de
normaalvector op het oppervlak
daar naar de oorsprong wijst.
Dan komt nu de grote truc: ik ga de limieten nemen van r
1 gaat naar nul en r
2
gaat naar oneindig:
Van die positie
vectoren r maak ik
eenheidsvectoren en voor de
gradiënt van φ schrijf ik
E,
want het statische elektrische veld is de
gradiënt van de potentiaal φ en
ikzelf heb ook plaatsgenomen in de oorsprong, dus alles is zo statisch als maar zijn kan:
Die vier
integralen uit het linkerlid
neem ik even apart door.
Het oppervlak waarover
geïntegreerd moet worden
is (uiteraard) evenredig met r
2 (het oppervlak van een bol is 4πr
2) en r is
een constante voor het gehele oppervlak en kan daarom buiten de
integralen gehaald worden.
Bij de eerste
integraal staat een
factor r
2 in de noemer.
Die beide r
2’s heffen elkaar op en in de limietovergang dat r
1 naar nul gaat wordt het
bolletje gereduceerd tot een punt en
is φ de potentiaal in dat enkele punt (= de oorsprong = O).
Het resultaat van de eerste
integraal wordt:
Bij de tweede integraal kan uiteraard ook
die r in de noemer buiten de integraal
gehaald worden en wat er dan overblijft is de eerste wet van Maxwell = de wet van Gauss = de wet van De Coulomb
in integraalvorm.
Wanneer r naar nul nadert dan is er geen omsloten lading meer (die wordt nul) en het omsluitende oppervlak
gaat ook naar nul.
Het resultaat van deze integraal wordt nul
in de limietovergang dat r1 naar nul gaat:
Bij de derde
integraal staat er r
2
in de noemer terwijl het oppervlak toeneemt met r
2.
De uitkomst van deze
integraal hangt daarom af van
het verloop van de potentiaal φ en gevoelsmatig zou het wel heel raar zijn als die zou toenemen met de afstand.
Maar goed, wetenschap gaat niet over gevoel maar over keiharde feiten en keiharde logica.
Wat wel een keiharde indicator is, is dat het uitrekenen van de potentiaal van een puntlading vrij simpel is
(een kwestie van de wet van De Coulomb
integreren naar r)
en die neemt af met de afstand (φ is evenredig met 1/r).
Bovendien, indien φ zou toenemen met de afstand dan zou er ergens ook een gigantisch
potentiaalverschil
ontstaan.
Met andere woorden, door hier wat lading op een hoop te gooien worden elders talloze aliens geëlektrocuteerd
of ontstaat er bliksem in een afgelegen sterrenstelsel.
Dat is allemaal heel erg onfysisch, deze
integraal
levert uiteindelijk echt wel nul op:
Het elektrische veld neemt af met de afstand in het
kwadraat (de wet van De Coulomb) en met een extra
factor 1/r wordt dat dan een afname evenredig met r
3.
Het oppervlak neemt toe met r
2, waaruit volgt dat indien r naar oneindig gaat de vierde
integraal ook nul wordt:
Deze vier resultaten pak ik samen en stop ik terug in vergelijking (11);
Ik heb de potentiaal φ bepaald in de oorsprong, maar het is nu een kleine moeite om de potentiaal te vinden
in een willekeurig punt door simpelweg de oorsprong naar dat willekeurige punt te verplaatsen:
Er staan nu twee soorten r in bovenstaande vergelijking, een r en een r'.
Tijd voor een plaatje:
De coördinaat r is ten opzichte van een of andere oorsprong ten opzichte waarvan ik de potentiaal bepaald heb en de
coördinaat r' beschrijft de ladingsverdeling ten opzichte van diezelfde oorsprong.
In vergelijking (14) heb ik de afstand tussen het punt P en het stukje volume dV (waar de lading zit) als een verschil
van twee
vectoren geschreven, want dat ziet er het
eleganst uit.
Vervolgens heb ik de noemer wel tussen absoluutstrepen gezet, want het is helemaal geen
vectorvergelijking, het gaat puur om de grootte van die afstand.
Ik kan vergelijking (14) daarom ook als volgt opschrijven:
Hiervoor had ik het al even over de potentiaal volgend uit de wet van De Coulomb, die ga ik toch nog even uitrekenen voor een
puntlading q in de oorsprong:
En vergelijk dit eens even met vergelijking (14) voor een puntlading in de oorsprong (r' = 0).
Er is dan perfecte bolsymmetrie en q is onafhankelijk van r (want q is een puntlading), oftewel r kan buiten de
integraal gehaald worden.
Wat overblijft is de volume
integraal van de
ladingsdichtheid en dat levert dan uiteraard q op.
In dit specifieke geval gaat vergelijking (14) dus naadloos over in vergelijking (16), precies zoals het hoort.
Dit is toch wel verbazingwekkend, de wet van Poisson is een differentiaalvergelijking en daarvoor is een algemene
oplossing te vinden zonder dat er ook maar iets bekend is over de ladingsverdeling!