Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De wetten van Maxwell met potentialen én de Lorentz-ijk

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De wetten van Maxwell met potentialen én de Lorentz-ijk

Schrijf de wetten van Maxwell met enkel en alleen potentialen én gebruik de Lorentz-ijk.

Dit zijn de wetten van Maxwell, inmiddels welbekend neem ik aan:

Op deze pagina leidde ik de vergelijkingen af voor de potentialen van het elektromagnetische veld:

En op deze pagina heb ik die gebruikt om de wetten van Maxwell om te schrijven met dit resultaat:

De enige voorwaarde die ik tot nu toe aan de vector A heb gesteld is dat de afgeleide van die vector naar de tijd in combinatie met de gradiënt van de elektrostatische potentiaal gelijk moet zijn aan het elektrische veld (zie vergelijking (2a)). Dat is alles. Verder heb ik nog een zee van vrijheid om de vector A bepaalde randvoorwaarden mee te geven. Dat noemen we ijken. Over de afgeleiden naar x, y en z is bijvoorbeeld nog geen woord gezegd:

Het was Lorentz die op het volgende lumineuze idee kwam, de Lorentz-ijk [Engels: Lorentz-gauge]. Hij stelde:

Nee, dit is geen Lorentz-eik

Of kortweg:

Dit ga ik invullen in de vergelijkingen (3):

Een goed moment om de d’Alembertiaan (vernoemd naar D’Alembert) in te zetten, de vierdimensionale uitbreiding van nabla. De d’Alembertiaan wordt helaas niet eenduidig genoteerd, er zijn auteurs die de plussen en minnen verwisselen en er zijn er ook die voor het gemak het tweetje weglaten (Wikipedia!). Dat kan op zich wel, maar het is een operator met tweede afgeleiden en dan zorgt dat tweetje wel voor behoud van duidelijkheid en systematiek (en per slot van rekening is systematiek een hoeksteen van de wiskunde):

Hiermee worden de vergelijkingen (7):

Dit is toch een geweldig resultaat, het hele bouwwerk van Maxwell is gereduceerd tot twee supercompacte vergelijkingen:

Door naar het volgende vraagstuk: oplossing voor de wet van Poisson

Terug naar het vorige vraagstuk: de wetten van Maxwell met potentialen

Overzichtspagina met vraagstukken

Overzichtspagina elektriciteit en magnetisme

Differentiëren

Wat is een vector?

Combinaties en manipulaties met nabla

De potentialen van het elektromagnetische veld

Afleiding van de Schwarzschild-oplossing

De illusie van de temperatuur

De Meezingnacht

De integraal van
f (x) = x³/(a² − x²)

De integraal van
f (x) = sin² (ax)

De integraal van
f (x) = 1/sinh (ax)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

De integralen van
f (x) = e^{−ax² − bx − c}

De integralen van
f (x) = xⁿ ln (a ± x)

Vectoren, vraagstuk 30

Vectoren, vraagstuk 75

Alle symmetrieën van de Riemann-tensor

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 + x)

De Taylor-reeksen van
f (x) = (a ± x²)^1/2

Vind de nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

Overzichtspagina wiskunde

Overzichtspagina natuurkunde

Overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026