De race tegen de lichtstraal

Licht heeft de maximale snelheid die mogelijk is in ons universum en die snelheid is alleen bereikbaar voor ‘dingen’ die, net als het licht, massaloos zijn. Met andere woorden, licht is sneller dan alles wat wél massa heeft. Toch schijnt het zo te zijn dat je een lichtstraal wel voor kunt blijven (vertelde iemand mij laatst). Hoe komt dat dan, dat die lichtstraal je niet kan inhalen? De lichtstraal is toch altijd sneller?
Hoe onlogisch het misschien ook klinkt, maar je kunt een lichtstraal inderdaad wel voor blijven. Om dat te demonstreren gaan we een wedstrijd organiseren, we laten het raceschip R3 racen tegen een lichtstraal.

Het raceschip R3 met QuadLuminalDriveTM
De tegenstander van de R3 is een lichtstraal afkomstig van de Zon en het raceschip krijgt een voorsprong van één lichtjaar, dat is ongeveer een kwart van de afstand tot de eerstvolgende ster: Proxima Centauri. Het is volkomen gerechtvaardigd dat het raceschip een voorsprong krijgt, want die start immers vanuit stilstand terwijl een lichtstraal per definitie de lichtsnelheid heeft, al gelijk vanaf de start.

Dit is de startpositie, de R3 krijgt een voorsprong van één lichtjaar
De R3 versnelt vanaf het startschot continu met een versnelling van 9.8 m/s2 (ten opzichte van de toeschouwers, zoals alles op deze pagina ten opzichte van de toeschouwers is). De bemanningsleden voelen zich daardoor aan boord net alsof ze op het aardoppervlak staan. Hieronder staan de snelheden van de lichtstraal en de R3 uitgezet in een grafiek.

De grafiek van de snelheid van de lichtstraal (de rode lijn) en de R3 (de groene lijn)
als functie van de tijd (van de toeschouwers)
Zoals je ziet is de beginsnelheid van de R3 nul, maar loopt zijn snelheid gestaag op tot aan de lichtsnelheid (maar bereikt die niet). De afstanden die de lichtstraal en de R3 afleggen zien er dan als volgt uit.

De grafiek van de afgelegde afstand van de lichtstraal (de rode lijn) en de R3 (de groene lijn)
als functie van de tijd (van de toeschouwers)

Het publiek dat is samengestroomd op de kolonie bij Proxima Centauri
om de R3 voorbij te zien flitsen
Het wordt een spannende nek-aan-nek-race en de bemanning van de R3 ziet hun voorsprong continu slinken. In onderstaande grafiek heb ik de voorsprong van het raceschip uitgezet, die was bij de start dus precies een lichtjaar (= 9.46 ∙ 1015 meter).

De grafiek van de voorsprong van de R3 als functie van de tijd (van de toeschouwers)
Laten we eens wat gaan rekenen om te zien hoe dit afloopt. De snelheid van de versnellende R3 is (voor de afleiding zie deze pagina):
Door de snelheid te integreren naar de tijd krijg ik de afgelegde weg:
Ik heb hierbij gebruik gemaakt van de tabel met integralen. Van vergelijking (2) kan ik de limiet nemen voor t gaat naar oneindig:
De lichtstraal dendert continu onvermoeibaar voort met de lichtsnelheid:
De voorsprong van de R3 neemt daardoor af tot (de voorsprong van het begin, dat ene lichtjaar, minus het verschil van de vergelijkingen (4) en (3)):
De lichtstraal heeft het nakijken, want hoe lang de race ook zal duren, er zal uiteindelijk een onoverbrugklare kloof blijven van 0.03 lichtjaar (= bijna 290 miljard kilometer). De R3 blijft de lichtstraal voor en wint de wedstrijd. Hieronder heb ik nogmaals de voorsprong van het raceschip uitgezet, ditmaal over een langere tijdsduur.

De grafiek van de voorsprong van de R3 als functie van de tijd (van de toeschouwers),
de oranje lijn is de asymptoot van 0.03 lichtjaar