De lichtsnelheid is invariant en dat betekent dat licht door iedere waarnemer met dezelfde snelheid wordt waargenomen. Deze snelheid duiden we aan met c. Vanuit dit gegeven is het vervolgens een redelijk simpel wiskundig pad dat naar de Lorentz-transformaties leidt.

Wat op z’n zachtst gezegd opmerkelijk is, is dat de Lorentz-transformaties ook af te leiden zijn zonder gebruik te maken van de invariantie van de lichtsnelheid. Newton zou ze afgeleid kunnen hebben (of een andere slimmerik die voor Einstein leefde) en daarmee de onjuistheid van Newton’s statement over absolute tijd en absolute ruimte hebben kunnen ontkrachten. Maar goed, zo is het niet gelopen. Pas nadat Einstein de speciale relativiteitstheorie voor het voetlicht had gebracht (in 1905) was het Vladimir Ignatovski die vijf jaar later als eerste de Lorentz-transformaties afleidde zonder lichtinvariantie. In nagenoeg alle literatuur over relativiteitstheorie wordt dit bijzondere aspect volledig genegeerd, dus de hoogste tijd om er hier een pagina aan te wijden. Dit wordt natuurkunde op het scherpst van de snede en op de rand van de filosofie.

Nou, daar gaan we dan. Stel ik heb twee stelsels, S en S’, en het S’-stelsel beweegt met een snelheid v ten opzichte van het stelsel S. Op de een of andere manier kan ik de ruimtetijdcoördinaten in het S’-stelsel berekenen middels bepaalde transformatievergelijkingen. Of anders gezegd, de ruimtetijdcoördinaten in het S’-stelsel zijn functies van de ruimtetijdcoördinaten t, x, y en z in het S-stelsel plus de snelheid v: Ik heb op dit moment nog geen idee hoe deze vier functies eruit zien, ik weet alleen dat ze moeten bestaan. Waarom moeten ze bestaan? Omdat er een eenduidige relatie moet bestaan tussen beide stelsels, want alles wat er in het ene stelsel gebeurt vindt onvermijdelijk ook plaats in het andere stelsel. Het zijn geen gescheiden werelden, valt er een ei kapot in het ene stelsel dan doet ie dat gegarandeerd ook in het andere stelsel.

Ik stel:

• de snelheid v is in de x-richting,
• de snelheid v is in de x’-richting.

De coördinaten x, y en z zijn puur wiskundige abstracties en de bijbehorende assen kan ik neerleggen zoals ik wil. Voor het gemak (van wat komen gaat) leg ik in beide stelsels de x-as in de richting van de snelheid.

Vervolgens leg ik een staaf op de x-as in het S-stelsel. Het ene uiteinde ligt op x-coördinaat x₁ en het andere uiteinde op x-coördinaat x₂ (x₁ < x₂). De bijbehorende x-coördinaten in het S’-stelsel zijn: De lengte van de staaf is, uitgedrukt in de coördinaten van het S-stelsel: Ik kan de lengte van de staaf ook uitdrukken in de coördinaten van het S’-stelsel. Dit wil niet zeggen dat een waarnemer in het S’-stelsel het verschil van die twee coördinaten ook werkelijk kan en/of moet duiden als de lengte van de staaf. Het gaat puur en alleen om een uitdrukking in de coördinaten van het S’-stelsel voor de lengte van de staaf zoals ik die in de vorige vergelijking heb opgeschreven voor het S-stelsel: Vervolgens leg ik de staaf een eindje verderop en dat eindje noem ik ∆x. Ik ga ervan uit dat het verleggen van de staaf geen invloed heeft op de lengte van de staaf. Dat klinkt op zich logisch (en noodzakelijk, want anders kan ik geen natuurkunde bedrijven), maar toch dien ik deze aanname te formaliseren want het is immers een aanname:

• ruimte is homogeen (de ruimte ‘hier’ is niet anders dan de ruimte ‘daar’).

Ik schrijf wederom de lengte van de staaf op, uitgedrukt in de coördinaten van beide stelsels: Ik stel de vergelijkingen (3b) en (4b) aan elkaar gelijk: Ik deel beide zijden door ∆x: Vervolgens neem ik de limiet voor ∆x gaat naar nul, of anders gezegd, ∆x wordt infinitesimaal klein: Wat ik hier heb staan zijn twee afgeleiden, links in het punt x = x₁ en rechts in het punt x = x₂: Ik heb x₁ en x₂ volledig willekeurig gekozen en dat impliceert dat de afgeleide van f_x naar x altijd (voor iedere x) hetzelfde resultaat oplevert, oftewel een constante moet zijn. Het directe gevolg daarvan is dat f_x een lineaire (eerstegraads) functie van x moet zijn. Door in het voorgaande x, y en z cyclisch te verwisselen of met meerdere staven te werken volgt daaruit dezelfde conclusie voor f_y en f_z en tevens dat het lineaire functies van y en z moeten zijn.

Wat ik ook aanneem is dat gewoon even een tijdje wachten eveneens geen invloed heeft op de lengte van de staaf (en ook dit is wederom noodzakelijk, want anders kan ik geen natuurkunde bedrijven). Ook deze aanname dien ik te formaliseren:

• tijd is homogeen (de tijd ‘nu’ is niet anders dan de tijd ‘straks’).

Op dezelfde manier zoals ik dat hiervoor heb gedaan met het ruimtelijk verplaatsen van de staaf kan ik dat ook doen voor twee willekeurige tijdstippen. Daaruit volgt dan dat de afgeleide van iedere functie f naar de tijd een constante moet zijn en dat iedere functie f een lineaire functie van t moet zijn. De transformatievergelijkingen (1) zijn dus lineaire vergelijkingen: Een zeer belangrijk ondersteunend argument waarom de bovenstaande vergelijkingen lineair zijn is de eerste wet van Newton:

• een voorwerp waar geen krachten op worden uitgeoefend is in rust of beweegt zich met constante snelheid langs een rechte lijn.

Als de vergelijkingen (9) geen lineaire vergelijkingen zouden zijn dan zou een voorwerp in het ene stelsel langs een rechte lijn bewegen en in het andere stelsel niet terwijl de stelsels onderling met een constante snelheid bewegen. Met andere woorden, in het ene stelsel wordt er geen kracht uitgeoefend op het voorwerp en in het andere stelsel wel. Tenzij natuurlijk de eerste wet van Newton niet deugt. Deze optie wil ik uiteraard niet uitsluiten, want het zou zeker niet de eerste keer zijn dat er in de natuurkunde een overtuiging bij het grof vuil gezet moet worden waar men al eeuwen twijfelloos over was, maar vooralsnog is er tot op heden geen enkele reden om aan te nemen dat de eerste wet van Newton niet de werkelijkheid beschrijft en aanpassing behoeft. Daarnaast is het wel zo dat alleen de eerste wet van Newton als basis onvoldoende is. Ik schrijf Newton’s eerste wet even uit in formulevorm (in alleen de x-richting): Stel nou dat zowel ruimte als tijd dezelfde afhankelijkheid hebben van een onbekende andere parameter: In dit geval blijft de eerste wet van Newton overeind terwijl het voorgaande betoog in duigen valt. Dus de homogeniteit van zowel ruimte als tijd is een noodzakelijke aanname om tot de Lorentz-transformaties te komen. Tot zover dit intermezzo over Newton’s eerste wet.

Ik stel dat de oorsprongen van beide stelsels op t = 0 samenvallen, want dan ben ik in één klap die constanten b₁, b₂, b₃ en b₄ kwijt (die zijn dan nul): Dit kan ik uiteraard heel compact opschrijven in matrixnotatie: Tot nu toe speelden al mijn overpeinzingen zich af op de x-as en dat ga ik zo houden. Op de x-as zijn y = 0 en z = 0, en omdat de x-as en de x’-as samenvallen geldt daar ook dat y’ = 0 en z’ = 0. Hiermee worden de vergelijkingen (12): Ik neem eens even plaats in de oorsprong van het S’-stelsel, daar geldt uiteraard altijd dat x’ = 0. Vergelijking (14b) wordt dan: Helemaal aan het begin stelde ik dat het S’-stelsel beweegt met een snelheid v ten opzichte van S-stelsel. Voor deze snelheid v geldt (omdat ik ook al had gesteld dat de snelheid in de x-richting is): En omdat de snelheid v constant is én ik ook al heb aangenomen dat ruimte en tijd homogeen zijn én dat de oorsprongen op t = 0 samenvallen mag ik ook schrijven: Dit vul ik in in vergelijking (15): Oftewel: Hiermee worden de vergelijkingen (14): Ik stelde dat het S’-stelsel beweegt met een snelheid v ten opzichte van het S-stelsel, maar ik heb helemaal niets gezegd over de richting van die snelheid. Ik liet de richting van de snelheid wel samenvallen met de beide x-assen, maar of de snelheid in de +x-richting of in de −x-richting is liet ik in het midden. De volgende stap is om de snelheid precies 180 graden om te draaien en ik doe precies hetzelfde met de x-as en de x’-as. Op die manier behoudt de snelheid hetzelfde teken en dezelfde relatie tot de beide assen, ik hoef alleen in de vergelijkingen (20) x en x’ een tekenwisseling te laten ondergaan. Om een en ander uit elkaar te houden geef ik eerst in de vergelijkingen (20) de variabelen a_ij een +-index mee: En nu krijgt iedere x een minteken mee en de +-indices worden −-indices: En mag dit allemaal zomaar, assen en snelheid omkeren? Ik heb weer een aanname gedaan, namelijk dat de ruimte geen richtingsgevoeligheid kent:

• ruimte is isotroop (de ruimte is in alle richtingen hetzelfde).

Maar ik had toch al aangenomen dat ruimte homogeen is, waarom dan nog deze aanvullende conditie? Stel ik heb een gebied waar het overal precies even hard waait en overal in exact dezelfde richting. Dit windveld is onmiskenbaar homogeen, want op ieder punt heeft de wind dezelfde eigenschappen. De snelheid van de wind is overal gelijk en ook de richting van de wind. Maar isotroop is dit windveld zeker niet en dat merk ik direct wanneer ik in dat veld vanaf een bepaald punt ga bewegen. Afhankelijk van de richting die ik kies kan ik de wind mee hebben of pal tegen of iedere andere tussenliggende mogelijkheid. Met de aanname dat ruimte isotroop is nemen we aan dat ruimte niet een bepaalde richtingsafhankelijkheid kent (in tegenstelling tot de wind in het plaatje hierboven).

Tenslotte heb ik nog één aanname nodig, het relativiteitsprincipe:

• de transformaties van S naar S’ zijn van dezelfde vorm als de transformaties van S’ naar S.

Of anders gezegd: wanneer ik transformaties uitvoer van S naar S’ en vervolgens terugtransformeer van S’ naar S dan moet ik weer op mijn oorspronkelijke coördinaten uitkomen. Of wiskundiger gezegd: de transformatiematrix maal de inverse transformatiematrix is de eenheidsmatrix. Deze laatste zin ziet er in formulevorm uit als volgt: De transformatiematrix kan ik aflezen uit de vergelijkingen (21): En de inverse transformatiematrix kan ik aflezen uit de vergelijkingen (22): Het product van beide moet de eenheidsmatrix opleveren: Dit resulteert in de volgende vier vergelijkingen: Vervolgens substitueer ik (26c) in (26a): En (26d) in (26b): Ik stel de vergelijkingen (27) en (28) aan elkaar gelijk: Zodat de transformatiematrix (vergelijking (24a)) weer een variabele armer wordt: De vergelijkingen (22) verschaffen mij de belangrijke informatie dat de elementen van de transformatiematrix die op de hoofddiagonaal liggen gelijk zijn voor de transformatiematrix en zijn inverse: En de elementen die op de nevendiagonaal liggen ondergaan een tekenwisseling: Met deze kennis kan ik vergelijking (26a) omschrijven als volgt: En met behulp van vergelijking (29) wordt dit tenslotte: Zodat de transformatiematrix uiteindelijk wordt: Die a₁₁⁺ ga ik vanaf nu a noemen en die breng ik buiten de matrix: Ik introduceer een derde stelsel en dat noem ik S’’. Dit stelsel beweegt met een snelheid u ten opzichte van S’. Voor de omrekening van coördinaten tussen de stelsels S’ en S’’ bestaat er uiteraard ook een transformatiematrix. Door al mijn voorgaande zetten te herhalen kom ik weer uit bij vergelijking (36) met een paar kleine aanpassingen, de snelheid is u in plaats van v en ik geef de a’tjes indices om ze te kunnen onderscheiden van de a’tjes in vergelijking (36): Ik kan ook coördinaten omrekenen tussen de stelsels S en S’’, dan krijg ik een tweetrapsraket: Ik ga de twee matrices met elkaar vermenigvuldigen: Vergelijking (29) leerde ons dat de elementen van de transformatiematrix die op de hoofddiagonaal liggen gelijk zijn. Dat moet dan nu ook gelden: En aangezien de snelheden u en v willekeurig te kiezen zijn impliceert dit dat elke zijde van vergelijking (40) een snelheidsonafhankelijke constante moet zijn. Die constante noem ik K: Hiermee wordt vergelijking (36): Ik stel: Hiermee kan ik de transformatiematrix schrijven als volgt: Na vergelijking (14) heb ik geen aandacht meer besteed aan de dimensies y en z, maar die zijn er natuurlijk wel degelijk: Ik roep even de vergelijkingen (14c) en (14d) in herinnering: Dit moet gelden op ieder tijdstip t voor iedere waarde van x en dat kan alleen indien a₃₁ = a₃₂ = a₄₁ = a₄₂ = 0: Nu heb ik nog acht onbekenden over, hoe ga ik die bepalen? Ik heb reeds gesteld dat de x-as en de x’-as samenvallen, maar hoe de y-as, y’-as, z-as en z’-as gericht zijn daar heb ik nog niets over gezegd en dus nog alle vrijheid in (want het zijn toch ‘slechts’ wiskundige abstracties). Daarom roteer ik de z-as en/of z’-as zodanig dat het vlak dat gevormd wordt door de x-as en z-as getransformeerd wordt naar het vlak dat gevormd wordt door de x’-as en z’-as (en vice versa). Voor het x-z-vlak geldt y = 0 en voor het x’-z’-vlak geldt y’ = 0 en dit vul ik in in vergelijking (12c): Dit moet altijd waar zijn, op ieder tijdstip t voor iedere waarde van x en iedere waarde van z, en dat kan alleen indien a₃₁ = a₃₂ = a₃₄ = 0.

Dit hele verhaal kan ik ook ophangen voor het x-y-vlak zodat dat getransformeerd wordt naar het x’-y’-vlak. Voor die beide vlakken geldt z = 0 respectievelijk z’ = 0 en dat vul ik in in vergelijking (12d): Dit moet ook altijd waar zijn, op ieder tijdstip t voor iedere waarde van x en iedere waarde van y, en dat kan alleen indien a₄₁ = a₄₂ = a₄₃ = 0.

Dat ik de y-as, y’-as, z-as en z’-as zodanig kan roteren om mijn bovenstaande betoog kloppend te maken werkt alleen indien ik twee orthonormale stelsels heb. In het plaatje aan het begin van deze pagina heb ik beide stelsels wel op die manier getekend, maar ik heb het nergens expliciet vermeld. Weer een aanname dus:

• alle coördinatenstelsels zijn orthonormaal.

Voor het y-z-vlak en het y’-z’-vlak gaat dit verhaal natuurlijk niet op, maar ik mag wel stellen dat dat op één tijdstip wel waar is en dan kies ik natuurlijk het tijdstip t = 0. Voor die beide vlakken geldt x = 0 respectievelijk x’ = 0 en dat vul ik in in de vergelijkingen (12a) en (12b): Dit moet altijd waar zijn, voor iedere waarde van y en iedere waarde van z, en dat kan alleen indien a₁₃ = a₁₄ = a₂₃ = a₂₄ = 0. Aldus hebben we ons probleem gereduceerd van acht onbekenden naar twee: Hiermee worden de vergelijkingen (12): Wat hieraan opvalt is dat ik drie groepen variabelen heb, t/t’/x/x’, y/y’ en z/z’, die volledig onafhankelijk zijn van elkaar. Omdat er werkelijk helemaal niets te bedenken valt (althans niet door mij) waarom er een ander verband zou moeten bestaan tussen y/y’ en z/z’ moet wel gelden dat a₃₃ = a₄₄: Hiervan ga ik de inverse matrix bepalen: De elementen van deze inverse matrix vormen zich als volgt (k = kolom, r = rij): Ik ga eerst de determinant bepalen: De elementen (die niet nul zijn) worden dan: Zo vormt zich de inverse matrix: Dit resultaat moet identiek zijn aan wanneer ik in de transformatiematrix +v vervang door −v: Wanneer ik de matrices van de vergelijkingen (55) en (56) met elkaar vergelijk dan kan het niet anders dan dat a₃₃ = +1 of a₃₃ = −1. Deze twee mogelijkheden weerspiegelen of de positieve delen van de y/y’/z/z’-assen in dezelfde richting wijzen of in tegengestelde richting. Ik kies a₃₃ = +1: Wat de waarde is van K dat komt uiteraard uit dit mathematische verhaal niet naar boven. Laat ik eens wat mogelijkheden onderscheiden:

• K > 0:
  
  Maxwell

  Tegenwoordig weten we dat voor K geldt:

  
  Hiermee vormen zich de Lorentz-transformaties:
  
  
  
  
  Om dit stapje te maken heb je dan toch weer de wetten van Maxwell nodig, maar dat doet niets af aan het spectaculaire resultaat van vergelijking (57). Merk op dat er voor v = c oneindigheden ontstaan (de noemer van γ wordt nul), en dat voor v > c alles wiskundig op de klippen loopt (de wortel van een negatief getal...). Kortom, de lichtsnelheid c manifesteert zich ondubbelzinnig als de maximale snelheid.
• K = 0:
  
  Galileï

  Hiermee vormen zich de Galileï-transformaties:

  
  
  
  
  Dit zijn de klassieke ‘gezond-verstand-transformaties’ zoals die eeuwenlang golden voordat Einstein op het toneel verscheen. Zoals vergelijking (60a) laat zien: tijd is altijd en overal simpelweg tijd. Klassiek gezien wel te verstaan.
• K < 0:
  
  Ik stel:
  
  Het kwadraat hiervan is:
  
  Daarmee wordt de factor γ:
  
  De cosinus kan ik schrijven als een functie van de tangens waardoor vergelijking (63) vereenvoudigt tot:
  
  Waarmee de transformatiematrix uiteindelijk wordt:
  
  Hier staat een rotatie in het x-t-vlak (met de belangrijke kanttekening dat geen mens weet welke fysische werkelijkheid hierbij hoort)!

Samengevat:

• K > 0: Lorentz-transformaties.
  Fysische werkelijkheid: onze dagelijkse wereld.
• K = 0: Galileï-transformaties.
  Fysische werkelijkheid: achterhaald.
• K < 0: ruimte-tijd-rotatie.
  Fysische werkelijkheid: onbekend.

Ik zal de aannames die ik op deze pagina gemaakt heb even op een rijtje zetten:

• ruimte is homogeen (de ruimte ‘hier’ is niet anders dan de ruimte ‘daar’),
• tijd is homogeen (de tijd ‘nu’ is niet anders dan de tijd ‘straks’),
• ruimte is isotroop (de ruimte is in alle richtingen hetzelfde),
• transformaties zijn van dezelfde vorm als de inverse transformaties (het relativiteitsprincipe),
• alle coördinatenstelsels zijn orthonormaal.

Zoals ik aan het begin al zei: Newton zou dit ontdekt kunnen hebben.