Een raket, een tunnel en twee kanonnen
- Er is interactie tussen datgene wat met de ‘ene snelheid’ beweegt (of helemaal ‘niet beweegt’ zoals de tunnel in dit vraagstuk) en datgene wat met de ‘andere snelheid’ beweegt. De interactie bestaat meestal uit kogels die afgevuurd worden of deuren die open en dicht gaan.
- Beide ‘dingen’ (raketten, tunnels, auto’s, garages, stokken, ladders, enzovoort) hebben een bepaalde lengte. Er is nooit sprake van een puntmassa of iets dergelijks, maar altijd zijn het dingen die duidelijk een voorkant en een achterkant hebben met een bepaalde afstand ertussen.
- En er valt gegarandeerd een keer het woord “gelijktijdig”.
De tunnel
Jan
Jan is de cowboy die de kanonnen bedient. En het is logisch dat Jan bij de ingang van de tunnel staat, want daar staat hij er met zijn neus bovenop om te zien of de raket zich helemaal in de tunnel bevindt. Of beter gezegd: of de achterkant van de raket hem al gepasseerd is. In dit vraagstuk staat dat Jan gelijktijdig twee kanonnen afvuurt. Hierin zit gelijk al een geweldige vaagheid die menigeen op het verkeerde been zet. De vraag “Wat is hier gelijktijdig?” kan deze antwoorden oproepen:
- Vanuit Jan bezien duwt hij gelijktijdig op de ontstekingsmechanismen, die bij hem staan, en waarmee de kanonnen bediend worden.
- Vanuit Jan bezien vuren de kanonnen gelijktijdig.
- Vanuit Jan bezien duwt Jan op de ontstekingsmechanismen gelijktijdig met het passeren van de achterkant van de raket.
- Vanuit Jan bezien vuren de kanonnen gelijktijdig met het passeren van de achterkant van de raket.
Kees
Dus wat is er nou uiteindelijk gelijktijdig? Gelijktijdig met het moment dat de achterkant van de raket Jan passeert en in de tunnel verdwijnt vuren de kanonnen gelijktijdig hun kogels af bezien vanuit Jan. Cowboy Kees, die bij de uitgang van de tunnel staat, zal waarnemen dat het kanon bij de uitgang van de tunnel eerder vuurt dan het kanon bij de ingang van de tunnel. Zonder dat ik nog maar met één woord over de raket gerept heb, en alleen maar cowboys en kanonnen beschouw die niet bewegen ten opzichte van elkaar, is gelijktijdigheid al een begrip met vele haken en ogen. Alleen Jan kan zeggen dat de kanonnen gelijktijdig vuren.
Op een bepaald moment tJan vuren beide kanonnen. Kees staat aan de andere kant van de tunnel, L meter verderop, en voor hem vuurt het kanon dat naast Jan staat later. Zijn tijdsbeleving ten opzichte van die van Jan is:Figuur 1: de verticale assen zijn de tijd-assen van Jan en Kees, de horizontale as is de x-as
(de positie-as) van Jan en Kees, ik heb er eentje getekend, maar ik had er ook duizend kunnen
tekenen, want bij ieder tijdstip (ieder punt op een verticale as) hoort een x-as, de groene
markeringen op de beide tijd-assen geven μs aan
Figuur 2: ik heb op een aantal tijdstippen de tunnel erbij ingetekend in de vorm van een blauwe
balk, ik heb er vier getekend, maar ook hier geldt dat ik er ook wel duizend had kunnen tekenen,
want de tunnel is er uiteraard op ieder tijdstip
Figuur 3: ik heb de lichtkegels toegevoegd die het vuren van beide kanonnen veroorzaken,
gebeurtenis A is het vuren van het kanon bij Kees, gebeurtenis B is de waarneming van
gebeurtenis A door Jan en tegelijkertijd vuurt zijn kanon, gebeurtenis C is de waarneming
van gebeurtenis B door Kees, op zijn tijd-as zijn er dan inmiddels 2 μs verstreken sinds zijn
eigen kanon vuurde (de verticale afstand van A naar C)
Wat weten we van de raket? De raket is even lang als de tunnel, maar hebben we het dan over de bewegende raket (ten opzichte van Jan, Kees en de tunnel) of over de raket wanneer die niet beweegt ten opzichte van de tunnel? Laten we uitgaan van het eerste, de raket (in beweging) is dus net als de tunnel L meter lang. Voor de snelheid van de raket kies ik v = 3/5 c = 0.6 c.
Dat levert een Lorentz-factor γ op van:
Figuur 4: ik heb op vier tijdstippen de raket erbij ingetekend die van links aan komt stormen,
de onderste raket is precies met zijn voorkant bij de ingang van de tunnel, de raket daarboven
is voor de helft in de tunnel, de raket daar weer boven is precies helemaal in de tunnel terwijl
Jan tevreden waarneemt dat de kanonnen gelijktijdig vuren, en de bovenste raket heeft net
de tunnel verlaten
Figuur 5: de schuine blauwe lijnen waar de raketten tussenin ‘geklemd’ zitten zijn de tijd-assen
van de voorkant en de achterkant van de raket, de twee andere blauwe lijnen zijn de x-assen
(positie-assen) van de voorkant en de achterkant van de raket
Figuur 6: het licht (de oranje lijn) snijdt de hoek tussen een tijd-as en een bijbehorende positie-as
altijd precies doormidden, oftewel de hoek α1 is gelijk aan de hoek α2, α3 = α4 en α5 = α6
- Gebeurtenis A: het kanon bij Kees vuurt.
- Gebeurtenis B: de achterkant van de raket is bij de ingang van de tunnel (bij Jan), het kanon bij Jan vuurt, en Jan ziet het vuren van het kanon bij Kees.
- Gebeurtenis C: Kees ziet het vuren van het kanon bij Jan.
- Gebeurtenis D: de voorkant van de raket is bij de ingang van de tunnel (bij Jan).
- Gebeurtenis E: de voorkant van de raket is bij de uitgang van de tunnel (bij Kees).
- Gebeurtenis F: de achterkant van de raket is bij de uitgang van de tunnel (bij Kees).
∆t [μs] | A | B | C | D | E | F |
A | 0 | 1 | 2 | −2/3 | 1 | 8/3 |
B | −1 | 0 | 1 | −5/3 | 0 | 5/3 |
C | −2 | −1 | 0 | −8/3 | −1 | 2/3 |
D | 2/3 | 5/3 | 8/3 | 0 | 5/3 | 10/3 |
E | −1 | 0 | 1 | −5/3 | 0 | 5/3 |
F | −8/3 | −5/3 | −2/3 | −10/3 | −5/3 | 0 |
Tabel 1 |
∆x/L | A | B | C | D | E | F |
A | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 |
B | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
C | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 |
D | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
E | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 |
F | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 | 0 |
Tabel 2 |
s2/L2 | A | B | C | D | E | F |
A | 0 | 0 | 4 | −5/9 | 1 | 64/9 |
B | 0 | 0 | 0 | 25/9 | −1 | 16/9 |
C | 4 | 0 | 0 | 55/9 | 1 | 4/9 |
D | −5/9 | 25/9 | 55/9 | 0 | 16/9 | 91/9 |
E | 1 | −1 | 1 | 16/9 | 0 | 25/9 |
F | 64/9 | 16/9 | 4/9 | 91/9 | 25/9 | 0 |
Tabel 3 |
Willem
In de raket zitten twee cowboys. Cowboy Willem zit helemaal bovenaan in de neuskegel van de raket en cowboy Dirk zit helemaal onderin de raket bij de motoren (en hij heeft oordopjes in). Zij zijn vooraf geïnformeerd over wat er gaat gebeuren en vinden het eigenlijk een waardeloos plan. Zij zien de raket als een raket-in-rust die γL = 374.74 meter lang is.
Dirk
Vervolgens zien ze met een rotgang een tunnel op zich afkomen van L/γ = 239.83 meter lengte (lengtecontractie) waar ze doorheen gaan vliegen. En tot overmaat van ramp gaan de kanonnen bij Jan en Kees gelijktijdig afgevuurd worden, zo is hen verteld, op het moment dat ze in de tunnel zijn. “Slecht plan!” zegt Willem. Dirk knikt instemmend. Hoe ervaren Willem en Dirk deze hele operatie?
Figuur 7: nu staan de tijd-assen van Dirk en Willem verticaal, de markeringen op deze assen geven
weer μs aan
Figuur 8: ik heb op een aantal tijdstippen de raket toegevoegd, en ten opzichte van Dirk en Willem
beweegt de raket uiteraard niet
Figuur 9: vanuit de optiek van Dirk en Willem nadert er van voren met hoge snelheid een tunnel
In figuur 4 zagen we een tunnel die van links bestormd werd door een raket, maar nu zien we een raket die van rechts bestormd wordt door een tunnel. De tijd-assen van Jan en Kees hellen net zo veel over naar links als de tijd-assen van Willem en Dirk (voorkant en achterkant van de raket) overhelden naar rechts in figuur 4. Hier hebben we het in de uitleg van paragraaf 4 van het artikel van Einstein over de algemene relativiteitstheorie uitgebreid over gehad: de tangens van de hoek die de hellende tijd-assen maken met de verticale tijd-assen is gelijk aan β = v/c. Nu is het natuurlijk interessant om de gebeurtenissen uit figuur 5 in deze figuur opnieuw een plaats te geven. De volgende gebeurtenissen zijn redelijk simpel aan te geven:
- Gebeurtenis B: de achterkant van de raket is bij de ingang van de tunnel (bij Jan), oftewel: Dirk passeert Jan.
- Gebeurtenis D: de voorkant van de raket is bij de ingang van de tunnel (bij Jan), oftewel: Willem passeert Jan.
- Gebeurtenis E: de voorkant van de raket is bij de uitgang van de tunnel (bij Kees), oftewel: Willem passeert Kees.
- Gebeurtenis F: de achterkant van de raket is bij de uitgang van de tunnel (bij Kees), oftewel: Dirk passeert Kees.
Figuur 10
Figuur 11: gebeurtenis B ligt op de lichtkegel van gebeurtenis A
∆t [μs] | A | B | C | D | E | F |
A | 0 | 2 | 30/12 | −1/12 | 15/12 | 40/12 |
B | −2 | 0 | 6/12 | −25/12 | −9/12 | 16/12 |
C | −30/12 | −6/12 | 0 | −31/12 | −15/12 | 10/12 |
D | 1/12 | 25/12 | 31/12 | 0 | 16/12 | 41/12 |
E | −12/9 | 9/12 | 15/12 | −16/12 | 0 | 25/12 |
F | −40/12 | −16/12 | −10/12 | −41/12 | −25/12 | 0 |
Tabel 4 |
∆x/L | A | B | C | D | E | F |
A | 0 | −2 | −6/4 | −3/4 | −3/4 | −2 |
B | 2 | 0 | 2/4 | 5/4 | 5/4 | 0 |
C | 6/4 | −2/4 | 0 | 3/4 | 3/4 | −2/4 |
D | 3/4 | −5/4 | −3/4 | 0 | 0 | −5/4 |
E | 3/4 | −5/4 | −3/4 | 0 | 0 | −5/4 |
F | 2 | 0 | 2/4 | 5/4 | 5/4 | 0 |
Tabel 5 |
s2/L2 | A | B | C | D | E | F |
A | 0 | 0 | 4 | −5/9 | 1 | 64/9 |
B | 0 | 0 | 0 | 25/9 | −1 | 16/9 |
C | 4 | 0 | 0 | 55/9 | 1 | 4/9 |
D | −5/9 | 25/9 | 55/9 | 0 | 16/9 | 91/9 |
E | 1 | −1 | 1 | 16/9 | 0 | 25/9 |
F | 64/9 | 16/9 | 4/9 | 91/9 | 25/9 | 0 |
Tabel 6 |
s2/L2 | A | B | C | D | E | F | s2/L2 | A | B | C | D | E | F |
A | 0 | 0 | 4 | −5/9 | 1 | 64/9 | A | 0 | 0 | 4 | −5/9 | 1 | 64/9 |
B | 0 | 0 | 0 | 25/9 | −1 | 16/9 | B | 0 | 0 | 0 | 25/9 | −1 | 16/9 |
C | 4 | 0 | 0 | 55/9 | 1 | 4/9 | C | 4 | 0 | 0 | 55/9 | 1 | 4/9 |
D | −5/9 | 25/9 | 55/9 | 0 | 16/9 | 91/9 | D | −5/9 | 25/9 | 55/9 | 0 | 16/9 | 91/9 |
E | 1 | −1 | 1 | 16/9 | 0 | 25/9 | E | 1 | −1 | 1 | 16/9 | 0 | 25/9 |
F | 64/9 | 16/9 | 4/9 | 91/9 | 25/9 | 0 | F | 64/9 | 16/9 | 4/9 | 91/9 | 25/9 | 0 |
Tabel 3 | Tabel 6 |
Als we verder tabel 1 en tabel 4 met elkaar vergelijken dan zien we dat de tijdsverschillen op de tijd-assen van Jan en Kees (AC, AE, AF, BD, CE, CF en EF) keurig tijdgedilateerd terugkomen in tabel 4 ten opzichte van tabel 1. Daarom zet ik die twee tabellen voor het gemak ook even naast elkaar:
∆t [μs] | A | B | C | D | E | F | ∆t [μs] | A | B | C | D | E | F |
A | 0 | 1 | 2 | −2/3 | 1 | 8/3 | A | 0 | 2 | 30/12 | −1/12 | 15/12 | 40/12 |
B | −1 | 0 | 1 | −5/3 | 0 | 5/3 | B | −2 | 0 | 6/12 | −25/12 | −9/12 | 16/12 |
C | −2 | −1 | 0 | −8/3 | −1 | 2/3 | C | −30/12 | −6/12 | 0 | −31/12 | −15/12 | 10/12 |
D | 2/3 | 5/3 | 8/3 | 0 | 5/3 | 10/3 | D | 1/12 | 25/12 | 31/12 | 0 | 16/12 | 41/12 |
E | −1 | 0 | 1 | −5/3 | 0 | 5/3 | E | −12/9 | 9/12 | 15/12 | −16/12 | 0 | 25/12 |
F | −8/3 | −5/3 | −2/3 | −10/3 | −5/3 | 0 | F | −40/12 | −16/12 | −10/12 | −41/12 | −25/12 | 0 |
Tabel 1 | Tabel 4 |
Ik schreef hiervoor dat op het moment dat Willem bij Kees arriveert (gebeurtenis E) hij nog slechts de kruitdampen waarneemt van het kanon dat reeds gevuurd heeft. Maar wanneer had Willem voor het eerst door dat het kanon bij Kees vuurde? Dat was op het moment dat de lichtkegel van de gebeurtenis A, het vuren van het kanon bij Kees, het netvlies van Willem bereikte, oftewel dat de lichtkegellijn vanuit gebeurtenis A zijn tijd-as bereikte. Dit geef ik nog even aan als gebeurtenis G.
Figuur 12
En wat is de eindconclusie van dit vraagstuk? De raket blijft ongeschonden voor alle waarnemers: Jan, Kees, Willem en Dirk. Het zou natuurlijk ook heel raar zijn als niet alle waarnemers tot dezelfde conclusie zouden komen. In beide waarnemingssituaties is de raket nog maar voor een (klein) deel in de tunnel als het kanon bij de uitgang al vuurt. Door de lengtes van de raket en de tunnel en de onderlinge snelheid anders te kiezen kan het zelfs zo zijn dat het kanon bij de uitgang al vuurt nog voordat de raket überhaupt bij de tunnel is!
Daarnaast hebben we natuurlijk ook de Lorentz-transformaties tot onze beschikking. Wanneer we figuur 5 er weer bijpakken en ik kies als oorsprong het punt B dan kan ik voor ieder punt de volgende (x, t) coördinaten aflezen, de Jan-Kees coördinaten:
A | (1, -1) |
B | (0, 0) |
C | (1, 1) |
D | (0, -5/3) |
E | (1, 0) |
F | (1, 5/3) |
Tabel 7 |
A' | (2, -2) |
B' | (0, 0) |
C' | (1/2, 1/2) |
D' | (5/4, -25/12) |
E' | (5/4, -3/4) |
F' | (0, 4/3) |
Tabel 8 |