In de laatste paragraaf van zijn artikel besteedt Einstein uitgebreid aandacht aan verschijnselen in de echte wereld die zijn theorie onderbouwen. Alle voorgaande paragrafen waren puur theoretisch van aard, in het begin zelfs filosofisch, en verderop werd het zeer wiskundig als aanloop naar de natuurkundige beschouwingen in de daaropvolgende paragrafen. Maar nu komt het er op aan, want waaruit blijkt in de werkelijkheid dat de algemene relativiteitstheorie bestaansrecht heeft? Einstein heeft daarvoor drie concrete fysische verschijnselen op zijn lijstje staan en die gaat hij hierna bespreken en wiskundig onderbouwen. Uit de titel van deze paragraaf blijkt al wat die drie verschijnselen zijn:

• Wat gebeurt er met tijd en afstand onder invloed van de zwaartekracht?
• In welke mate wordt licht afgebogen onder invloed van de zwaartekracht?
• Hoe bewegen objecten (met name hemellichamen) nou precies onder invloed van de zwaartekracht?

Bij het laatste punt heb ik het woordje “precies” benadrukt, want met de wetten van Newton in de hand kun je heel nauwkeurig de banen van hemellichamen berekenen maar zijn er toch minimale afwijkingen. Met de algemene relativiteitstheorie rekent het weliswaar een heeeeeeeeeel stuk moeilijker (dan met de wetten van Newton), maar de resultaten zijn wel exact.

In de vorige paragraaf hebben we gezien dat van de zestien g_μν componenten (waarvan er tien onafhankelijk zijn) bij eerste benadering alleen de component g₄₄ de bewegingsvergelijking van een object in een zwaartekrachtveld bepaalt: Daarbij gingen we ervan uit dat de g_μν maar ‘een beetje’ afwijken van de volgende waarden: Echter, we zijn er telkens vanuit gegaan dat: En in paragraaf 8 hebben we geleerd dat: Einstein merkt daarom terecht op dat behalve g₄₄ er ook nog andere componenten van de metrische tensor moeten afwijken van de waarden (4.47/E4) in het geval dat we een eerste orde benadering uitvoeren. Oftewel, we gaan proberen te vinden hoe (de kleine afwijkingen van) de componenten van de metrische tensor g er uit zien: Einstein gaat uit van een puntmassa die zich in de oorsprong van één of ander coördinatenstelsel bevindt. Die puntmassa genereert uiteraard een zwaartekrachtveld en dit veld zal symmetrisch zijn in de x, y en z-richting, want er is verder geen enkel ander object aanwezig die die symmetrie zou kunnen verstoren. Indien we denken volgens Newton dan heeft het veld de volgende potentiaal: Waarbij r gelijk is aan (in een Cartesisch stelsel): Ik bepaal even wat partiële afgeleiden: Dan kan ik voor het interval schrijven: Hieruit kunnen we de volgende g_μν componenten pikken: Oftewel, in een Euclidische ruimte zou ik hebben: En alle andere componenten van de metrische tensor zouden dan nul zijn, maar het voorafgaande laat zien dat ik dit breder kan trekken (dus niet-Euclidisch en niet-Cartesisch beschouwd): Omdat de puntmassa zich in de oorsprong bevindt en in de tijd gezien niets doet, het veld is dus statisch, kan ik stellen dat: Met de wijsheid van de vergelijkingen (22.9) en (22.10) kan ik de tensor g van vergelijking (22.2) invullen: Hierin zijn a en b nog onbekende functies. Dat de ruimtelijke componenten van de g_μν (μ = 1, 2, 3 en ν = 1, 2, 3) dezelfde afwijking van één hebben is logisch gezien het feit dat we een volkomen symmetrische situatie hebben rondom de oorsprong. De voor de hand liggende vraag is natuurlijk: hoe vinden we nu a en b?

Daarvoor gooien we dit probleem over een hele andere boeg. Binnen de algemene relativiteitstheorie heb ik deze metrische tensor: En binnen de speciale relativiteitstheorie heb ik deze metrische tensor: We gaan nu het volgende doen. Omdat we ervan uitgaan dat de g_μν componenten maar een beetje afwijken van de η_μν componenten stelt ons dit in staat een zogenaamde lineaire benadering, oftewel een eerste orde benadering, toe te passen. Om te beginnen stel ik: Of voluit geschreven: In het vervolg dat nu gaat komen neem ik alleen de eerste ordes mee van de verstoringsparameter ε (we doen immers een eerste orde benadering), dus kwadraten en hogere machten ga ik verwaarlozen. Door die verwaarlozingen, die in het hiernavolgende deel van deze paragraaf gaan plaatsvinden, gaat de sommatieconventie niet meer eenduidig werken. De sommatieconventie zegt dat er in iedere term van een vergelijking gesommeerd moet worden over de index die precies tweemaal voorkomt, éénmaal laag en éénmaal hoog, en die duidelijkheid verdwijnt wanneer we gaan verwaarlozen. Daarom voeg ik tot nader order de sommeringstekens toe zodat er geen verwarring kan ontstaan. En ik wil er nogmaals op wijzen dat Griekse indices over vier dimensies lopen en Latijnse indices alleen over de drie ruimtelijke dimensies.

In paragraaf 12 hebben we de Riemann-tensor gevonden:

Om daar even verderop een contractie op uit te voeren die ons bracht bij:

De laatste twee termen (met de vermenigvuldigingen van de Christoffel-symbolen) genereren kwadraten van de verstoringsparameter ε en in de lineaire benadering waar we nu mee bezig zijn gooi ik die dus overboord:

In paragraaf 14 heeft Einstein de eis geformuleerd dat de bovenstaande tensor verdwijnt (nul wordt) indien er geen massa aanwezig is. En omdat we het hier hebben over een puntmassa in de oorsprong is er verder helemaal nergens massa. Oftewel, buiten de oorsprong is de tensor B_μν gelijk aan nul: Waarmee vergelijking (22.16) wordt: In paragraaf 12 kwam langs: Hiermee schrijf ik vergelijking (22.18) om: We kunnen de determinant g bepalen als volgt: Echter, omdat we kwadraten en hogere machten van ε verwaarlozen reduceert dit tot de eerste term: Dit resultaat stoppen we in (22.19):

In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Als eerste orde benadering geldt dan: Dit gegeven gebruik ik om vergelijking (22.21) te vereenvoudigen: Vervolgens ga ik met de tweede term van de bovenstaande vergelijking knutselen: De afgeleiden van η_μν zijn uiteraard nul, omdat η_μν alleen maar constanten (getallen) bevat. Daardoor reduceert (22.25) tot: De termen met ε² kunnen we verwaarlozen en daarna kunnen we ε zelfs uitdelen: Nu hebben we een vergelijking waarin de parameter ε helemaal niet meer voorkomt! Het is ook te zien dat alle componenten waarbij α ≠ β nul worden (want η^αβ is dan nul). Verder ga ik nu onderscheid maken tussen α = β = 4 (= t) en de ruimtelijke dimensies: We hebben een statische situatie, dus alle afgeleiden naar de tijd zijn nul en vallen eruit: Het is op dit punt wel even interessant om te kijken naar de situatie μ = ν = 4 (= t), en alle afgeleiden naar de tijd er gelijk weer uit te kieperen: Hetgeen helemaal overeenkomt met wat we in de vorige paragraaf al vonden:

En daar zagen we ook dat dat in overeenstemming is met de vergelijking van Poisson uit paragraaf 16:

Want we beschouwen nu de ruimte buiten de puntmassa in de oorsprong, en aangezien daar geen massa is, en de massadichtheid dus gelijk aan nul is, zijn de vergelijkingen (16.17), (21.28/E68) en (22.30) equivalent. Voor extra duidelijkheid: Uitgaande van de vergelijkingen (22.30) en (22.31) kijk ik vervolgens naar de tensor van vergelijking (22.11) en dan volgt daar het volgende uit: Dus we zijn alvast iets wijzer geworden over de onbekende b.

Ik wil nogmaals vermelden dat we een volkomen statische situatie hebben, dus er beweegt niets, er roteert niets, alles ‘staat stil’. Dan ligt het voor de hand om aan te nemen dat er geen ‘kruisbestuiving’ plaatsvindt tussen de ruimtelijke dimensies en dat in de metrische tensor alle componenten die niet op de hoofddiagonaal liggen gelijk aan nul zijn. Vervolgens keren we terug naar vergelijking (22.29) en kijken we alleen naar de componenten op de hoofddiagonaal. Daarvoor stel ik ν = μ: Ik ga dit nog iets verder uitwerken en ik vul de componentwaarden van de tensor van vergelijking (22.11) in (voor zover mogelijk): Tenslotte sommeer ik over μ = 1, 2, 3, 4: Volgens goed gebruik gooien we de afgeleiden naar de tijd eruit: Omdat er geen ‘kruisbestuiving’ plaatsvindt tussen de ruimtelijke dimensies betekent dat dat in bovenstaande vergelijking alle termen tussen de haken nul zijn. Dan gaat (22.36) over in: Oftewel, afgezien van eventuele constanten: Einstein gaat hier zomaar van uit in zijn artikel en ik vond dat een beetje kort door de bocht, daarom deze vrij lange omweg. Ik vul dit vervolgens in in de tensor van vergelijking (22.11): Nu hebben we de onbekende b geëlimineerd en rest ons nog de taak om een uitdrukking voor a te vinden. In vergelijking (22.32) vonden we dat ∆b = 0, en volgens (22.37) en (22.38) geldt dan ook dat ∆a = 0.

Paragraaf 21 leerde ons: Hierin is φ de potentiaalfunctie van het zwaartekrachtveld volgens de newtoniaanse zwaartekracht. Dit stelt ons in staat om a te bepalen: Oftewel, afgezien van eventuele constanten: Nu maken we nogmaals gebruik van: Voor a vind ik dan: Ik stel: Einstein zit hier even een factor twee verkeerd en schrijft 8π in plaats van 4π, maar verderop doet hij het wel goed. Nu kan ik voor a schrijven: En door dit vervolgens in te vullen in de metrische tensor van vergelijking (22.39) krijg ik tenslotte: Of in indexnotatie: Einstein merkt nog op dat met de bovenstaande tensor (22.45) aan de veldvergelijkingen voldaan wordt, in een eerste orde benadering wel te verstaan. Dat heb ik hiervoor uitgebreid laten zien, want ik ben uitgegaan van een lineaire benadering (= eerste orde), dus dat klopt inderdaad (uiteraard).

Nu wordt het nog interessanter, want we willen weten wat er met de metrische eigenschappen van de ruimte gebeurt als gevolg van die puntmassa in de oorsprong. Oftewel, wat doet zwaartekracht met de ruimte? Voor een ‘klein stukje’ ruimtetijd geldt altijd: Vervolgens legt Einstein een meetlat van één meter lang op de x-as. Voor die meetlat geldt dan (de cijfers die hoog bij de dx staan zijn uiteraard indices en geen exponenten): Bovendien geldt voor het (ruimteachtige) interval: Deze informatie, de vergelijkingen (22.48) en (22.49), stop ik in (22.47) en dan krijg ik: De component g₁₁ kunnen we aflezen uit de vergelijkingen (22.46/E70) of uit de tensor van (22.45), en omdat de meetlat op de x-as ligt zijn y en z gelijk aan nul: En deze waarde stoppen we in vergelijking (22.50) en x¹ noem ik vanaf nu gewoon x: Omdat de meetlat op de x-as ligt is x gelijk aan r en daarom kunnen we ook schrijven: De meetlat wordt korter onder invloed van de zwaartekracht! De mate waarin de meetlat korter wordt is de laatste term in bovenstaande vergelijking: De factor c² (hierboven) moest er nog bij in vanuit de metrische tensor (zoals ook uit een dimensiecheck blijkt). Uitgaande van het oppervlak van de Aarde hebben we de volgende fysische gegevens:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Lichtsnelheid (exact)	c	2.99792458 ∙ 108	m/s
Massa Aarde	m	5.9742 ∙ 1024	kg
Straal Aarde (evenaar)	r	6.378 ∙ 106	m

Waarna een rekenmachine ons vertelt: Dit is uiteraard in de verste verte niet merkbaar of meetbaar, maar dat maakt het fenomeen niet ongelooflijker: zwaartekracht vervormt de ruimte! Maar dat het effect niet na te meten is was voor Einstein destijds wel vervelend, want hij wilde uiteraard graag experimenteel bewijs voor zijn nieuwe theorie. Helaas, helaas, daar ging dit verschijnsel niet voor zorgen.

Wanneer ik de meetlat negentig graden draai dan heb ik: Voor het interval geldt nog steeds: En ik mag stellen: De vergelijkingen (22.56) stop ik wederom in (22.47) en dan krijg ik: De component g₂₂ kunnen we aflezen uit de vergelijkingen (22.46/E70) of uit de tensor van (22.45), en omdat de meetlat op de x-as ligt zijn y en z gelijk aan nul. Strikt genomen is dit natuurlijk niet juist, want de meetlat ligt nu dwars op de x-as en steekt aan beide kanten uit. Echter, voor het gemak doen we alsof de meetlat net zo lang is als dat de x-as breed is (we doen dus net alsof de x-as een meter breed is). Of anders gezegd: de lengte van de meetlat is te verwaarlozen. Aldus vinden we voor g₂₂: Deze waarde stoppen we in vergelijking (22.57) en x² noem ik vanaf nu gewoon y: Of zoals Einstein het opschrijft: Indien de meetlat radieel wordt neergelegd (evenwijdig aan de veldlijnen van het zwaartekrachtveld) dan zal er een verkorting van de meetlat optreden, maar indien de meetlat tangentieel wordt neergelegd (loodrecht op de veldlijnen van het zwaartekrachtveld) dan is de verkorting afwezig.

We werken in deze paragraaf met een eerste orde benadering van de veldvergelijkingen en zelfs dan komen we al tot afwijkingen van de Euclidische meetkunde. Einstein brengt dit terecht nog even onder de aandacht, want meer dan tweeduizend jaar lang (!) gold het werk van Euclides als basis voor alle meetkunde, het was en is een soort meetkundige bijbel, en nu blijkt dat daar kanttekeningen bij geplaatst dienen te worden.

De volgende logische stap is natuurlijk om een klok in het zwaartekrachtveld te plaatsen en uit te rekenen wat daarmee gebeurt. In dit geval geldt: Er geldt nu voor het (tijdachtige) interval: Hiermee gaat (22.47) over in: Ik werk dit wat verder uit en x⁴ noem ik vanaf nu t: De component g₄₄ kunnen we ook aflezen uit de vergelijkingen (22.46/E70) of uit de tensor van (22.45) waardoor (22.64) wordt: Einstein doet deze stap iets anders: Maar dat verandert uiteraard niets aan het resultaat: de klok loopt langzamer onder invloed van de zwaartekracht! Dit noemen we gravitationele tijddilatatie. Einstein schrijft het trouwens nog iets anders op waarbij hij gebruik maakt van (21.33/E68a): Dan kan (22.65) ook geschreven worden als: De mate waarin de klok langzamer loopt is de laatste term in vergelijking (22.65): De factor c² (hierboven) moest er uiteraard weer bij in vanuit de metrische tensor. Uitgaande van het oppervlak van de Aarde hebben we de volgende fysische gegevens:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Lichtsnelheid (exact)	c	2.99792458 ∙ 108	m/s
Massa Aarde	m	5.9742 ∙ 1024	kg
Straal Aarde (evenaar)	r	6.378 ∙ 106	m

Waarna een rekenmachine ons wederom vertelt:

We kunnen de tijddilatatie ook uitrekenen voor een GPS-satelliet (GPS = Global Positioning System) die op een hoogte van 20200 km boven het aardoppervlak zijn rondjes om de Aarde draait. We komen dan tot een ∆t van 167 ps. Deze tijddilataties zijn ten opzichte van een waarnemer die zich ergens in oneindig bevindt, maar een waarnemer die zich op het aardoppervlak bevindt en naar de GPS-satelliet kijkt ‘ziet’ als tijdsverschil het verschil van de dilataties die we net hebben uitgerekend, dus 696 − 167 = 529 ps. Na een minuut is het tijdsverschil dan al opgelopen tot 60 maal 529 ps is bijna 32 ns. In die tijd legt het licht een afstand af van bijna tien meter. Met andere woorden, indien wij geen weet zouden hebben van de algemene relativiteitstheorie dan zouden de GPS-satellieten na één minuut al niet meer ‘weten’ of je op de weg rijdt of ernaast en binnen enkele uren zou het GPS-systeem volledig waardeloos zijn. De baansnelheid van de satellieten veroorzaakt ook tijddilatatie, volgens de speciale relativiteitstheorie, die ook nog in rekening gebracht dient te worden waardoor de hele situatie iets ingewikkelder wordt, maar dat neemt niet weg dat gravitationele tijddilatatie binnen korte tijd GPS onbruikbaar zou maken indien we daar niet voor zouden compenseren. Eén van de maatregelen is bijvoorbeeld dat de atoomklok in iedere GPS-satelliet voor de lancering een klein beetje te langzaam is afgesteld zodat de atoomklok, wanneer de satelliet in een baan om de Aarde draait, ‘synchroon’ loopt met onze klokken hier op Aarde. Daarnaast worden er correcties gepleegd door computers die alles kloppend maken/rekenen.

Deze tijddilatatie, en ook de lengtecontractie die ik hiervoor besprak, zijn ten opzichte van een waarnemer in oneindig waar het zwaartekrachtveld nul is en de metrische tensor g_μν overgaat in de metriek η_μν van een vlakke ruimte. Voor twee waarnemers, die zich beiden in het zwaartekrachtveld bevinden, worden de vergelijkingen voor lengtecontractie en tijddilatatie simpelweg: Omdat het zwaartekrachtveld een conservatief veld is hoeft dit niet via ingewikkelde integralen maar volstaan deze twee eenvoudige vergelijkingen.

Helaas voor Einstein waren er honderd jaar geleden nog helemaal geen satellieten, laat staan GPS-systemen, dus ook dit fenomeen, de gravitationele tijddilatatie, kon hij niet aanvoeren als bewijs voor zijn algemene relativiteitstheorie. Toch borduurt Einstein nog even voort op dit onderwerp om de volgende reden. Licht dat door een ster uitgezonden wordt zal van kleur verschuiven richting het rood of richting het blauw als gevolg van het Doppler-effect, vernoemd naar Christian Doppler die het effect voor het eerst in 1842 beschrijft en onderbouwt. Indien een ster zich van ons verwijdert zal er roodverschuiving optreden en indien de ster op ons toekomt zal er blauwverschuiving optreden. In formulevorm ziet het Doppler-effect er als volgt uit, allereerst indien de waarnemer zich richting de bron beweegt (de index w staat voor waarnemer, de index g duidt de golf aan en de index b geeft de bron aan):

Of wanneer de waarnemer zich van de bron af beweegt: Deze twee vergelijkingen kan ik samennemen als volgt: Wat je wellicht niet direct zou verwachten is dat het anders is wanneer niet de waarnemer maar de bron beweegt. Dit is het geval dat de bron richting waarnemer beweegt: Of wanneer de bron zich van de waarnemer af beweegt: Ook deze twee vergelijkingen kan ik samennemen als volgt: Omdat absolute beweging niet bestaat besteedt Einstein in zijn artikel uit 1905 Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Over de elektrodynamica van bewegende lichamen), het artikel over de speciale relativiteitstheorie, aandacht aan het Doppler-effect (in paragraaf 7 van dat artikel).

• Geïnteresseerd in het oorspronkelijke artikel? Stuur mij dan een email (karel@voorbijeinstein.nl) met als onderwerp “PDF bestand 020104000026” en ik stuur je de file (gratis) toe.

Daarin komen de bovenstaande vergelijkingen van Doppler allemaal samen in de volgende enkele relativistische vergelijking: Omdat: En: Dit stelt ons in staat om voor lage snelheden, wanneer γ bij goede benadering gelijk aan één is, vergelijking (22.77) om te schrijven naar de verschillende Doppler-vergelijkingen. Echter, Einstein brengt een roodverschuiving onder de aandacht die ook waarneembaar zou moeten zijn in het licht van sterren maar die niet het gevolg is van het Doppler-effect. Want voor een frequentie geldt: In bovenstaande vergelijking is T de periodetijd van één golf. Dus stelt Einstein dat wanneer een klok langzamer loopt binnen een zwaartekrachtveld ten opzichte van een waarnemer buiten dat zwaartekrachtveld, dit gevolgen moet hebben voor golfverschijnselen die zich in dat zwaartekrachtveld bewegen. Een klok loopt daar langzamer, oftewel, de tijd gaat daar langzamer, dus de periodetijd van een golf is langer (de periodetijd neemt toe) en daardoor is de frequentie lager (zie vergelijking (22.80)). Het licht dat zich ‘ontworstelt’ aan een ster zal daarom een roodverschuiving manifesteren die los staat van een eventuele roodverschuiving, of blauwverschuiving, ten gevolge van het Doppler-effect. De grootte van deze gravitationele roodverschuiving is de reciproke van de tijddilatatie: De laatste term van (22.81) is de relatieve roodverschuiving: Van de Zon hebben we de volgende fysische gegevens:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Lichtsnelheid (exact)	c	2.99792458 ∙ 108	m/s
Massa Zon	m	1.9891 ∙ 1030	kg
Straal Zon	r	6.957 ∙ 108	m

Waarna een rekenmachine ons weer verder helpt:

Twee miljoenste! Dat is de verschuiving van het zonlicht richting het rood. Om dat minieme verschil te meten is uiteraard geen sinecure, zeker niet honderd jaar geleden. De Duitse astronoom Erwin Finlay-Freundlich was daar wel druk mee bezig, maar helaas voor Einstein had dat begin 1916, toen hij dit artikel schreef, nog geen resultaten opgeleverd. Einstein zegt dat in een voetnoot en moet toegeven dat ook de gravitationele roodverschuiving van sterlicht, op het moment dat hij het artikel schreef, nog geen bewijs oplevert dat zijn theorie juist is.

Maar wat hebben we hier nou aan, wat is er zo bijzonder aan dit resultaat? Want dat licht wordt beïnvloed door zwaartekracht is op zich heel logisch. In 1900 kwam Max Planck met deze eenvoudige vergelijking die aangeeft dat de energie van een lichtstraal, een foton, rechtevenredig is met de frequentie van die lichtstraal:

Hierin is h een evenredigheidsconstante, de constante van Planck:

Constante van Planck

h

6.626070 ∙ 10−34

kg m2/s

Vijf jaar later kwam Einstein met deze wereldberoemde vergelijking die de equivalentie tussen energie en massa weergeeft: Door (22.84) en (22.86) aan elkaar gelijk te stellen kun je de massa van een lichtstraal uitrekenen: En zwaartekracht is er de oorzaak van dat massa’s elkaar aantrekken, dus waarom zou een lichtstraal daar een uitzondering op zijn? Daarom zal een lichtstraal die zich uit de greep van een zwaartekrachtveld probeert los te maken, net als een voetbal of een raket, arbeid moeten verrichten: En dat gaat ten koste van de energie die de lichtstraal al had, dus dit is het deel van de energie die de lichtstraal moet opofferen (en wat dus roodverschuiving gaat veroorzaken, daarom komt ook het minteken erbij): En dan hebben we exact hetzelfde resultaat als (22.82), dus met de hulp van een paar simpele natuurkundewetten, waar men in 1915 al weet van had, is de gravitationele roodverschuiving ook uit te rekenen.

In 1960 voerden de Amerikanen Robert Pound en Glen Rebka een experiment uit, waarvan ik de details hier niet ga bespreken, waarbij de gravitationele roodverschuiving bevestigd werd. Zij deden dit in een toren van 22.5 meter hoog en zagen zich geconfronteerd met een ∆φ/c² van:

Dit vereiste een zo grote meetnauwkeurigheid dat de stand van de (meet)techniek dit niet eerder mogelijk maakte. Einstein heeft het zelf niet meer mee mogen maken (hij stierf in 1955), maar ook dit fenomeen voltrekt zich zoals Einstein voorspelde.

Ik wil hier nog bij opmerken dat het licht van de Zon weliswaar een roodverschuiving ondergaat wanneer dat licht het zwaartekrachtveld van de Zon verlaat, maar tegelijkertijd ondergaat datzelfde licht een blauwverschuiving omdat het dan het zwaartekrachtveld van de Aarde binnenkomt. Ervan uitgaande dat de waarnemer zich op Aarde bevindt uiteraard. Echter, (22.55) en (22.68) laten zien dat de factor φ/c² voor de Aarde meer dan een factor 3000 kleiner is dan voor de Zon, dus dat compenserende effect kan volledig verwaarloosd worden.

We gaan verder met het artikel over de algemene relativiteitstheorie en Einstein stelt het gedrag van lichtstralen in een zwaartekrachtveld aan de orde. In paragraaf 4 kwam deze vergelijking naar voren die een afstand beschrijft in de vierdimensionale ruimtetijd, het interval, binnen de speciale relativiteitstheorie: In paragraaf 4 hebben we ook geleerd dat het lichtachtige interval, het interval van een lichtstraal, gelijk is aan nul. Dan wordt vergelijking (4.2): En indien we een klein stukje ruimtetijd beschouwen wordt dit: Het equivalent van (22.91) binnen de algemene relativiteitstheorie is: Indien de richting van de lichtstraal bekend is dan betekent dit dat de verhouding tussen dx, dy en dz bekend is. Of in indexnotatie geschreven: de verhouding tussen dx¹, dx² en dx³: Met behulp van vergelijking (22.93/E73) opent dat de deur om deze grootheden te bepalen: Dus dat gaan we natuurlijk doen. Door te stellen dat: Vervolgens ga ik vergelijking (22.93/E73) helemaal uitschrijven en ook gebruik maken van de bovenstaande twee vergelijkingen: Nu heb ik een eenvoudige tweedegraads vergelijking waaruit ik de snelheid v_x, de snelheid in de x-richting, kan oplossen. En door die daarna te vermenigvuldigen met p respectievelijk q vind ik gemakkelijk de snelheden v_y en v_z en heb ik dus alle componenten van de snelheid v gevonden. In een Euclidische ruimte (en een heel klein stukje ruimte is altijd Euclidisch, want we komen daar in het limietgeval van de algemene relativiteitstheorie zijnde de speciale relativiteitstheorie) kan ik dan voor de snelheid schrijven: Dit kan ik ook schrijven als: We hebben inmiddels geleerd dat zwaartekracht de ruimte vervormt. Maar anderzijds hebben we de heilige graal van het elektromagnetisme die zegt dat de snelheid van het licht een absolute constante is. Indien we te maken hebben met een gekromde ruimte dan zijn de componenten van de metrische tensor, de g_μν, geen constanten meer maar variabelen. Volgens vergelijking (22.96) zal v_x daardoor ook variabel worden en vergelijking (22.98) zegt dat het daardoor onvermijdelijk is dat p en q ook variabel worden om de constante lichtsnelheid veilig te stellen. En omdat p en q de richting bepalen van de lichtstraal betekent dit dat zwaartekracht een lichtstraal laat afbuigen.

Ieder antwoord dat de mensheid vindt leidt logischerwijs tot de volgende vraag en dat is in dit geval: hoeveel dan? Hoeveel wordt een lichtstraal afgebogen door de zwaartekracht van een bepaald voorwerp? Dat gaan we nu berekenen. In het artikel van Einstein gaat dat vergezeld van een plaatje, het enige plaatje in het artikel, en die heb ik gekopieerd en hieronder geplaatst: We gaan uit van een x¹-x²-vlak (een x-y-vlak) met daarin een lichtstraal die de x¹-as (de x-as) kruist precies parallel aan de x²-as (de y-as). De x³-as (de z-as) staat loodrecht op het papier en die doet niet mee in het verhaal. In de oorsprong van dit assenstelsel bevindt zich een puntmassa m en de lichtstraal passeert deze puntmassa op een afstand ∆. De lichtstraal dendert voort in de richting van zijn snelheid γ (in bovenstaande figuur is dat de x²-richting op het moment dat de lichtstraal de x¹-as kruist) en de richting die hier loodrecht op staat noemen we n (in bovenstaande figuur is dat de x¹-richting op het moment dat de lichtstraal de x¹-as kruist). Een afbuiging in een bepaalde richting betekent dat er in die richting een kracht werkt en dus ook een versnelling. Versnelling is gedefinieerd als: Of in dit geval: De afbuiging van de lichtstraal vindt uiteraard plaats in de richting n (of −n) en als we willen weten hoeveel de lichtstraal afbuigt, en niet hoe snel de lichtstraal afbuigt, dan zijn we geïnteresseerd in de volgende grootheid (met een minteken, want de afbuiging vindt plaats in de richting van de puntmassa):

Einstein refereert hier ook nog aan het principe van Huygens. Onze landgenoot schreef in de zeventiende eeuw een verhandeling over het gedrag van golven en dit principe draagt nu zijn naam. Huygens stelde dat ieder punt van een golffront het centrum is van een nieuw bolvormig golffront en al deze individuele golffronten vormen samen het overkoepelende golffront volgens onderstaande figuur.

De onderste gebogen stippellijn is aanvankelijk het golffront en een korte tijd ∆t later wordt het front gevormd door de volgende gebogen stippellijn. De voortplantingsrichting is loodrecht op het golffront. Dat de afbuiging van de lichtstraal volgens (22.101) verloopt voldoet volgens Einstein volledig aan het principe van Huygens. Waarvan akte.

De richting loodrecht op de voortplantingsrichting van de lichtstraal is x¹, en omdat de lichtsnelheid zeer groot is zal de afbuiging van de lichtstraal gering zijn en staat x¹ bij goede benadering de hele tijd loodrecht op de lichtstraal. Daarom kunnen we voor (22.101) ook schrijven: De afbuiging van de lichtstraal terwijl die een stukje dx² aflegt is dan: Waarmee de totale afbuiging van de lichtstraal wordt: Goed, het is weer tijd om te knutselen. Allereerst pak ik vergelijking (22.96): Omdat er in de z-richting niets gebeurt is q = 0 en houden we dit over: Een blik op de metrische tensor van (22.46/E70) herinnert ons eraan dat g_i4 = 0 waardoor we nog wat termen kunnen wegstrepen: Ik heb dy en dz middels p en q aan dx gekoppeld, maar ik had ook dy als referentierichting kunnen nemen als volgt: Vergelijking (22.106) had er dan op dit punt zo uitgezien (dat mag je zelf narekenen): Zoals ik hiervoor al aangaf staat x¹ bij goede benadering de hele tijd loodrecht op de lichtstraal en reist de lichtstraal de hele tijd (ook bij goede benadering) in de richting van x². Dat houdt in dat p = 0 en dan gaat (22.109) over in: Dit ga ik gebruiken in (22.97): Deze twee componenten kan ik aflezen uit de metrische tensor van (22.46/E70): Dit resultaat ga ik vervolgens partieel differentiëren naar x¹, en voor de overzichtelijkheid gebruik ik in de rest van deze berekening x¹ = x, x² = y en x³ = z: Nu kan ik de integraal gaan uitrekenen: Voor het gemak stel ik: Dan wordt de integraal: Om deze integraal op te lossen hebben we een trucje nodig: goniometrische substitutie door tangens of cotangens. Ik stel: Hiermee kan ik de integraal omschrijven én oplossen als volgt: Nu moeten we weer terugwerken naar de oorspronkelijke variabele y. Daarvoor dienen we te bedenken dat de sinus te schrijven is als een functie van de tangens: Ik kan het resultaat van de integraal daarom ook op deze wijze opschrijven: Volgens vergelijking (22.117) geldt: Dit vul ik in (22.120): We weten dat z = 0: En we weten dat de x-afstand tot de puntmassa gelijk is aan ∆: Nu ga ik α invullen: Einstein zit hier weer even een factor twee verkeerd en schrijft 4π in plaats van 2π, maar hij rekent het getal wel goed uit.

Ook hier geldt weer dat dit resultaat op zich eigenlijk helemaal niet bijzonder is, want ook aan een lichtstraal is massa toe te kennen (zie (22.84) tot en met (22.87)), en dus zal zwaartekracht een lichtstraal afbuigen. Om het belang van het resultaat (22.125/E74) in te zien gaan we daarom nu de afbuiging van een lichtstraal uitrekenen volgens de klassieke mechanica, oftewel, ‘op z’n Newton’s’.

Allereerst introduceer ik de grootheid impuls, het product van massa en snelheid: Voor impuls geldt een behoudswet, impuls gaat nooit verloren en komt er ook niet ‘zomaar ineens’ bij. Een goed voorbeeld hiervan zijn biljartballen. In het plaatje hieronder heeft de linkerbiljartbal een bepaalde snelheid en de andere twee ballen liggen stil. Na de botsing is de som van de snelheden (opgeteld als vectoren) exact gelijk aan de snelheid van de linkerbal vóór de botsing (ervan uitgaande dat de ballen allemaal dezelfde massa hebben, dat de botsing volkomen elastisch is en dat de ballen wrijvingsloos rollen). Oftewel: Daarnaast kennen we ook het impulsmoment, dat is de impuls maal de loodrechte afstand tot een bepaald scharnierpunt of rotatie-as (en voor de eenvoud laat ik de vectoraanduidingen achterwege, want dat doet niets af aan de essentie): Ook voor het impulsmoment geldt een behoudswet. In de praktijk manifesteert zich dat bijvoorbeeld bij een ijsdanseres die sneller rond gaat draaien op het moment dat ze haar armen intrekt (r wordt kleiner, dus ω neemt toe), en bij het Aarde-Maan systeem waar de Aarde steeds langzamer ronddraait (door de werking van eb en vloed) en de Maan zich van de Aarde verwijdert (ω neemt af, dus r wordt groter).

Met behulp van de behoudswet voor impulsmoment gaan we dit probleem, de afbuiging van een lichtstraal volgens de klassieke mechanica, aanpakken. Het probleem wordt weergegeven middels onderstaande figuur. In de oorsprong bevindt zich een massa m₁ en die wordt gepasseerd door een massa m₂. We gaan er vooralsnog van uit dat m₂ van alles kan zijn en straks kijken we wat er gebeurt indien m₂ een lichtstraal is. Tevens gaan we ervan uit dat m₁ veel groter is dan m₂. Het gevolg hiervan is dat we mogen stellen dat m₁ niet in beweging komt en dus geen kinetische energie (bewegingsenergie) verkrijgt. De massa m₂ komt aan de linkerkant het plaatje binnen en wint kinetische energie (door de aantrekking van m₁) waarbij ze potentiële energie verliest (wet van behoud van energie). Na de passage van m₁ gebeurt het omgekeerde en neemt de potentiële energie van m₂ toe en de kinetische energie af. Omdat m₁ op zijn plaats blijft moet de initiële kinetische energie van m₂ gelijk zijn aan de uiteindelijke kinetische energie van m₂: Dus de beginsnelheid van m₂ is gelijk aan de eindsnelheid. Daarnaast geldt natuurlijk ook de wet van behoud van impulsmoment. Ook hierbij helpt het dat er met m₁ niets gebeurt, want daardoor kunnen we stellen (volgens (22.128)), waarbij we gelijk gebruik maken van (22.129): Dus de loodrechte afstand van m₂ tot m₁ is (lang) voor de passage gelijk aan de loodrechte afstand van m₂ tot m₁ (lang) na de passage.

De beide massa’s oefenen zwaartekracht uit op elkaar volgens (de gravitatiewet van Newton): Door deze aantrekkende zwaartekracht gaat m₂ in de richting van m₁ bewegen, langs de lijn die hen beide verbindt, met een snelheid v: De afgeleide hiervan is de versnelling: Door dit met de massa m₂ te vermenigvuldigen ontstaat een kracht: Daarnaast is er een middelpuntvliedende kracht, de centripetale kracht, aan het werk terwijl m₂ om m₁ heen vliegt. Deze centripetale kracht is: Indien m₂ rondjes zou draaien om m₁ dan was het simpel, want r is dan constant en dr/dt gelijk aan nul. Bovendien was dθ/dt dan ook constant en gelijk aan de hoeksnelheid ω. De vergelijking voor het krachtenevenwicht zou dan luiden: Maar nu liggen de zaken gecompliceerder. Het krachtenevenwicht betreffende m₂ is: Dit gaan we nu oplossen en zoals meestal vraagt dat enig geknutsel. Om te beginnen introduceer ik een nieuwe variabele door te stellen: Vervolgens bepaal ik de afgeleide van r naar u: In het plaatje van de afbuigende lichtstraal heb ik dr/dt aangegeven. Dit is de verandering van de positievector als functie van de tijd, en dat is dus een snelheid. Loodrecht daarop staat de verandering van de hoek θ als functie van de tijd, dat is de hoeksnelheid dθ/dt, en door die te vermenigvuldigen met r ontstaat er een snelheid. Ik heb de snelheid van m₂ daarmee ontbonden in twee componenten, de radiële component dr/dt en de tangentiële component r dθ/dt. Het impulsmoment van m₂ is de snelheid van m₂ maal de loodrechte component van de positievector r, maar ik kan natuurlijk ook voor het impulsmoment de positievector r nemen maal de component van de snelheid die daar loodrecht op staat. En de snelheidscomponent r dθ/dt staat altijd loodrecht op de positievector. Kortom, voor het impulsmoment geldt: Dit kan ik omschrijven naar: Met behulp van (22.138) wordt dit: Voor de radiële component van de snelheid kan ik schrijven: De vergelijkingen (22.139) en (22.142) vul ik in in (22.143): Door (22.144) te differentiëren vind ik de radiële versnelling: Met behulp van (22.142) en (22.144) wordt dit: Nu kan ik verder met het oplossen van (22.137) door daar (22.138), (22.142) en (22.146) in in te vullen: Zoals (22.129) en (22.130) aangeven kan ik voor het impulsmoment schrijven (en omdat v₁ = v₂ noem ik die simpelweg v): Hiermee kan ik (22.147) tenslotte schrijven als: De vergelijking (22.137) is een differentiaalvergelijking, een mengelmoes van afgeleiden en ‘gewone’ functies, en die hebben we via allerlei omweggetjes omgeschreven van drie variabelen (r, t en θ) naar twee variabelen (u en θ). Het linkerlid van (22.149) is een constante en die noem ik k: Waarmee (22.149) uiteindelijk deze aantrekkelijke vorm krijgt: Over het oplossen van differentiaalvergelijkingen zijn (ook) boeken vol geschreven, maar ik wil het hier even kort houden. De vergelijking (22.151) kent de functie u en de tweede afgeleide van de functie u naar θ. Sinussen en cosinussen worden na tweemaal differentiëren weer ‘zichzelf’, want een sinus wordt weer een sinus en een cosinus wordt weer een cosinus. Voor een sinus ziet dat er zo uit: En voor de cosinus wordt dat als volgt: De algemene oplossing van (22.151) is daarom: Hierin zijn A, B en C constanten die we nog moeten bepalen. Om te beginnen substitueer ik de oplossing (22.158) in de vergelijking (22.151): Nu kennen we alvast de constante C en die gaan we invullen in (22.158): Aanvankelijk was de massa m₂ nog heel ver verwijderd van m₁, dus r was op dat moment bij goede benadering oneindig en de hoek θ was toen gelijk aan nul. En als r gelijk is aan oneindig dan is u gelijk aan nul (zie (22.138)). Deze beginvoorwaarden gaan we invullen in (22.160): En daarmee hebben we ook B gevonden. Onze oplossing ziet er nu zo uit: De afgeleide van r naar de tijd is de radiële snelheid en die bereken ik volgens (22.144): Nu kijken we weer naar de beginvoorwaarden, r was op dat moment bij goede benadering oneindig en de hoek θ was toen gelijk aan nul. De radiële snelheid dr/dt was op dat moment −v: Dat maakt onze oplossing compleet: De reciproke hiervan is r: Nu willen we natuurlijk weten wat er gebeurt met θ wanneer r naar oneindig gaat. Indien r oneindig is dan is u gelijk aan nul en dat gebruik ik in vergelijking (22.165): Een oplossing hiervan is θ = 0, dat is de beginsituatie, maar het is uiteraard die andere oplossing, de eindsituatie, die ons interesseert. Om die oplossing te vinden ga ik (22.167) omschrijven en daarbij moeten we de dubbele-hoek-formules uit de goniometrie goed in gedachten houden: Of iets anders opgeschreven: Hiermee kan ik (22.167) schrijven als: Maar we zoeken niet de hoek θ maar de hoek φ: Vergelijking (22.170) wordt dan: Voor kleine hoeken is de tangens van een hoek bij goede benadering gelijk aan de hoek zelf: Einstein gebruikte ∆ in plaats van a als loodrechte afstand tot de centrale massa, die centrale massa noem ik nu gewoon m, en ik doe nu alsof ik met een lichtstraal te maken heb, dus v = c: Dit vergelijk ik met de hoek die Einstein vond in vergelijking (22.125/E74): Het minteken van (22.174) komt omdat de hoek φ onder de horizontale as ligt, maar wat het buitengewoon spectaculaire resultaat is van deze hele rekenexercitie is dat de hoek volgens Einstein tweemaal zo groot is als volgens Newton! Dus niet een verschil van een paar procenten, of nog minder, het verschil is maar liefst honderd procent!

Dit trok uiteraard de aandacht. Laten we niet de omstandigheden vergeten, de jaren 1915 en 1916 waren tijdens de Eerste Wereldoorlog, maar desondanks wilde de wetenschappelijke wereld dit proberen na te meten. Het volgende idee werd hiervoor uitgewerkt. Het licht van sterren die vlak bij de Zon staan, vanaf de Aarde gezien uiteraard, zou het meest afgebogen worden onder invloed van de zwaartekracht van de Zon omdat de Zon de grootste zwaartekrachtbron is ‘in de buurt’. Laten we even gaan rekenen om te kijken waar we het precies over hebben, we hebben van de Zon de volgende fysische gegevens:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Lichtsnelheid (exact)	c	2.99792458 ∙ 108	m/s
Massa Zon	m	1.9891 ∙ 1030	kg
Straal Zon	r	6.957 ∙ 108	m

En dat brengt ons bij deze uitkomst: Minder dan twee boogseconden moest men dus als lichtafbuiging proberen te detecteren. Volgens de stand van de meettechniek honderd jaar geleden behoorde dat net tot de mogelijkheden. Onder normale omstandigheden zie je natuurlijk helemaal geen sterren rondom de Zon omdat het licht van die sterren volledig wordt overstraald door het licht van de Zon zelf. Maar tijdens een totale zonsverduistering schuift de Maan tussen de Zon en de Aarde en bedekt de Maan de volledige zonneschijf. Dan is het natuurlijk ook wel prettig indien tijdens de zonsverduistering de Zon zich temidden van heldere sterren bevindt zodat er een optimaal resultaat behaald kan worden. Het gelukkige toeval wil dat er op 29 mei 1919 een zonsverduistering op ging treden en de Zon zou zich dan in de sterrenhoop Hyaden bevinden, een groep van ongeveer tweehonderd sterren in het sterrenbeeld Stier waarvan er meerdere met het blote oog zichtbaar zijn.

In maart 1917 bracht de Astronomer Royal dit in Groot-Brittannië onder de aandacht en een Committee of the Royal Society and Royal Astronomical Society ging direct aan de slag om voorbereidingen te treffen voor observaties op 29 mei 1919. Gelukkig eindigde intussen de Eerste Wereldoorlog en er konden twee expedities op pad gaan. De ene expeditie, onder leiding van de heren Crommelin en Davidson, vertrok naar Sobral in Brazilië.

De tweede expeditie, onder leiding van de heren Cottingham en Eddington, ging op weg naar het Portugese eiland Principe voor de kust van Afrika.

Over beide expedities zijn mooie verhalen te schrijven, over de bewolking boven Principe, over de effecten van het tropische klimaat op de apparatuur, over het grote temperatuurverschil met Engeland, over foto’s die mislukt bleken en over een onverwachte windhoos. Verder waren er uiteraard nog wat technische obstakels en wat moessonregens, maar uiteindelijk werden er, maanden na thuiskomst, officiële resultaten gepubliceerd. De definitieve resultaten van beide expedities waren:

Sobral	Principe
1.98 ± 0.12 ’’	1.61 ± 0.30 ’’

Het gemiddelde van de twee expedities was 1.80 boogseconden, de algemene relativiteitstheorie stond! Helaas moet ik ook hier een teleurstelling vermelden, want Einstein voltooide zijn algemene relativiteitstheorie in 1915 en het artikel daarover werd gepubliceerd in 1916. Oftewel, de bevestiging dat licht zich gedraagt onder invloed van zwaartekracht zoals de theorie van Einstein voorspelt zou nog enkele jaren op zich laten wachten. Op het moment dat het artikel (dit artikel waar we mee bezig zijn) bij Annalen der Physik binnenkwam was dit hele lichtafbuigingsverhaal nog slechts een theorie zonder enige experimentele verificatie.

Einstein rekent ook nog uit wat de afbuiging van een lichtstraal is die langs de planeet Jupiter scheert, dat gaan we natuurlijk ook even narekenen met deze fysische gegevens:

Gravitatieconstante	G	6.67428 ∙ 10−11	m3/(kg s2)
Lichtsnelheid (exact)	c	2.99792458 ∙ 108	m/s
Massa Jupiter	m	1.899 ∙ 1027	kg
Straal Jupiter	r	7.1492 ∙ 107	m

Indien lichtafbuiging bij Jupiter nagemeten zou worden dan heb je natuurlijk geen last van een gigantische zee van storend licht zoals je dat bij de Zon hebt, maar het effect is ongeveer een factor honderd kleiner. En tweehonderdste boogseconde meten was honderd jaar geleden echt een brug te ver. Eén boogseconde was op de fotografische platen die de Principe-expeditie gebruikten, in combinatie met hun telescoop, maar 17 μm...

Einstein heeft het in deze paragraaf gehad over verschillende effecten die het gevolg zijn van zwaartekracht. Over meetlatten die korter worden, over klokken die langzamer lopen, over de roodverschuiving (of blauwverschuiving) van licht en over de afbuiging van licht, maar hij staat op dit punt (in 1915) nog steeds met lege handen voor wat betreft hard bewijs dat zijn theorie ook echt klopt. Er rest hem nog één onderwerp dat hij gaat bespreken: de afwijking in de baanbeweging van de planeet Mercurius. Zoals ik in de eerste paragraaf al aangaf vertoont deze planeet een precessie van zijn perihelium van 43 boogseconden per eeuw meer dan op theoretische gronden kon worden verklaard. En die theoretische gronden waren destijds uiteraard gebaseerd op de wetten van Newton, en dus ook de wetten van Kepler, want Newton stond tot aan 1915 op een onwankelbaar voetstuk.

Het perihelium, het punt van dichtste nadering tot de Zon, van Mercurius verschuift heel langzaam. Of met andere woorden, Mercurius draait in een baan rond de Zon maar zijn baan zelf draait ook (heel langzaam) om de Zon. Deze baandraaiing, de precessie, kent vier oorzaken:

• de Aarde maakt een tolbeweging die zich manifesteert als precessie,
• alle andere planeten beïnvloeden de baan van Mercurius, ze trekken aan Mercurius,
• de afplatting van de Zon,
• kromming van de ruimte veroorzaakt door de Zon, een relativistisch effect.

Het eerste effect is puur een coördinatencorrectie, omdat wij vanaf een ‘wiebelende’ Aarde staan waar te nemen. Deze correctie is eenvoudig uit te rekenen. In iets minder dan 24 uur draait de Aarde om haar as, maar tevens is er de tolbeweging van diezelfde as en die kent een periode van ongeveer 25800 jaar, dit noemen we een platonisch jaar (genoemd naar Plato). Een totale omwenteling van 360 graden gedeeld door 25800 jaar is 0.01395 graden per jaar, maal 3600 is 50.23 boogseconden per jaar, maal 100 is 5023 boogseconden per eeuw. Dus als we de precessie van Mercurius meten dan moeten we daar 0.01395 graden per jaar of 5023 boogseconden per eeuw vanaf trekken, puur omdat het meetinstrument (die op de Aarde staat) niet stilstaat.

De beïnvloeding van de baan van Mercurius door de andere planeten leidt tot een precessie van 532 boogseconden per eeuw en het gevolg van de afplatting van de Zon is te verwaarlozen (dit is ruimschoots minder dan één boogseconde per eeuw). De waarde die we meten is 5598 boogseconden per eeuw. Wanneer we daar 5023 en 532 vanaf trekken dan blijven er nog 43 onverklaarbare boogseconden over. Onverklaarbaar totdat Einstein met zijn algemene relativiteitstheorie komt en aan de precessie van Mercurius gaat rekenen.

Einstein vindt het verschil van 43 boogseconden en meldt dit tijdens een presentatie voor de Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften op 18 november 1915. Van die presentatie is, zoals van iedere presentatie, een verslag gemaakt, de zogenaamde Sitzungsberichte. Dat artikel gaan we natuurlijk ook nog ‘even’ in detail doornemen:

• Uitleg van het artikel van Einstein over de periheliumbeweging van Mercurius

Uiteindelijk komt hij tot dit historische resultaat: We weten van Mercurius deze fysische gegevens:

Apheliumafstand Mercurius	ra	6.98169 ∙ 1010	m
Periheliumafstand Mercurius	rp	4.60012 ∙ 1010	m

Daaruit kunnen we de halve lange as a berekenen: De halve korte as b zoeken we op:

Halve korte baanas Mercurius

b

5.66715 ∙ 1010

m

Zodat we de excentriciteit e van de Mercuriusbaan kunnen berekenen: En de omlooptijd van Mercurius zoeken we op:

Omlooptijd Mercurius

T

87.97

dagen

Dan komen we tot deze relativistische precessie: Voor de omtrek van een ellips, en dus ook voor de omloopbaan van Mercurius, geldt ongeveer: En de precessieverschuiving is: Op een totale omloopbaan van 360 miljoen kilometer gaat het om een periheliumverschuiving van nog geen dertig kilometer! In de negentiende eeuw viel dit al op en Einstein kon het honderd jaar geleden verklaren. Met zijn algemene relativiteitstheorie! Het spreekt vanzelf dat Einstein hier buitengewoon blij over was. Diverse boeken beschrijven zijn eureka-moment en één ding blijkt daaruit heel duidelijk: Einstein ging uit zijn dak.

Zoals gezegd maakt Einstein dit op 18 november 1915 wereldkundig en een week later, op 25 november, spreekt hij nogmaals voor de academie en komt hij met de definitieve vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie. Kort daarna, in december, gebeurt er nog iets opmerkelijks, een man uit het Duitse leger lost de vergelijkingen van Einstein op en schrijft daarover terstond een brief naar Einstein:

Vertaling van de brief van Schwarzschild
22.XII.15. Verehrter Herr Einstein! XXXUm mit Ihrer Gravitationstheorie vertraut zu werden, habe ich mich näher mit dem von Ihnen in der Arbeit über das Merkurperihel gestellte und in 1. Näherung gelöste Problem beschäftigt. Zunächst machte mich ein Umstand sehr konfus. Ich fand für die erste Näherung der Koeffizienten gμν auβer ihrer Lösung noch folgende zweite: XXXDanach hätte es auβer Ihrem α noch eine zweite gegeben und das Problem wäre physikalisch unbestimmt. Daraufhin machte ich einmal auf gut Glück den versuch einer volständigen Lösung. Eine nicht zu groβe Rechnerei ergab folgendes Resultat: Es gibt nur ein Linienelement, das Ihre Bedingungen 1) bis 4) nebst Feld- und Determinantengl. erfüllt und im Nullpunkt und nur im Nullpunkt singulär ist. XXXSei: dann lautet das Linienelement: R, θ, φ sind keine „erlaubten“ Koordinaten, mit denen man die Feldgleichungen bilden dürfte, weil sie nicht die Determinante 1 haben, aber das Linienelement schreibt sich in ihnen am schönsten. XXXDie Gleichung der Bahnkurve bleibt genau die von Ihnen in erster Näherung erhaltene (11), nur muβ man unter x nicht 1/r, sondern 1/R verstehen, was ein Unterschied von der Ordnung 10−12 ist, also praktisch absolut gleichgültig. XXXDie Schwerigkeit mit den zwei willkürlichen Konstanten α und β, welche die erste Näherung gab, löst sich dahin, daβ β einen bestimmten Wert von der Ordnung α4 haben muβ, so wie α gegeben ist, sonst würde die Lösung bei Fortsetzung der Näherungen divergent. XXXEs ist also auch die Eindeutigkeit Ihres Problems in schönster Ordnung. XXXEs ist eine ganz wunderbare Sache, daβ von einer so abstrakten Idee aus die Erklärung der Merkur-anomalie so zwingend herauskommt. XXXWie Sie sehen, meint es der Krieg freundlich mit mir, indem er mir trotz heftigen Geschützfeuers in der durchaus terrestrischer Entfernung diesen Spaziergang in dem von Ihrem Ideenlande erlaubte.	22.XII.15. Geachte heer Einstein! XXXOm met uw gravitatietheorie vertrouwd te raken, heb ik mij nader bezig gehouden met datgene wat u stelt in uw werk over het Mercuriusperihelium en het in eerste benadering opgeloste probleem. Aanvankelijk bracht één aspect mij zeer in verwarring. Ik vond voor de eerste benadering van de coëfficiënten gμν behalve uw oplossing nog de volgende tweede: XXXDaarna was er behalve uw α nog een tweede en het probleem zou daardoor fysiek onbepaald zijn. Vervolgens deed ik eens op goed geluk een poging tot een exacte oplossing. Een niet zo omvangrijke berekening leverde het volgende resultaat: er is slechts één lijnelement, dat aan uw voorwaarden 1) tot 4) naast Veld- en Determinantenvergelijking voldoet en in de oorsprong, en alleen in de oorsprong, singulier is. XXXDoor te stellen: dan wordt het lijnelement: R, θ, φ zijn geen „toegestane“ coördinaten, waarmee men de veldvergelijkingen zou mogen opstellen, omdat ze niet de determinant 1 hebben, maar het lijnelement laat zich daarmee het mooist opschrijven. XXXDe vergelijking van de baankromme blijft precies zoals de door u in eerste benadering gevonden (11), alleen moet men voor x niet 1/r maar 1/R lezen, hetgeen een verschil in de orde van grootte van 10−12 is, dus praktisch absoluut verwaarloosbaar. XXXHet probleem met de twee willekeurige constanten α en β, die uit de eerste benadering volgden, lost zich als volgt op, dat β een bepaalde waarde van de orde α4 moet hebben, zodra α bekend is, omdat anders de oplossing bij volgende benaderingen divergent zou worden. XXXAldus is ook de eenduidigheid van uw probleem helemaal in orde. XXXHet is een bijzonder wonderbaarlijk iets, dat vanuit een zo abstract idee de verklaring van de Mercurius-afwijking zo dwingend naar voren komt. XXXZoals u ziet, is de oorlog mij goedgezind, aangezien hij het mij toestond om ondanks het hevige kanongebulder in de verte een wandeling te maken in uw ideeënlandschap.

Hierboven zie je de brief die Schwarzschild aan Einstein stuurde in december 1915. Even een historische kanttekening van mijn zijde: in de meeste boeken over relativiteitstheorie wordt deze brief van Schwarzschild, en alles wat daarmee samenhangt, in het jaar 1916 geplaatst, maar zoals je kunt zien is het toch echt in 1915 dat de brief geschreven is. En zoals deze militair, Karl Schwarzschild, in de laatste zin aangeeft lijkt de oorlog (de Eerste Wereldoorlog) het goed met hem voor te hebben, want “ondanks het hevige kanongebulder staat de oorlog het mij toe om een wandeling te maken in uw ideeënlandschap”. Op 13 januari 1916 brengt Einstein de berekening van Schwarzschild voor de academie en ook daar is verslag van gemaakt (wellicht is dit tevens de reden dat de ontdekking van Schwarschild door de meeste auteurs aan het jaar 1916 wordt gekoppeld).

• Geïnteresseerd in het oorspronkelijke artikel? Stuur mij dan een email (karel@voorbijeinstein.nl) met als onderwerp “PDF bestand 020104000026” en ik stuur je de file (gratis) toe.

Het is dit artikel waar Einstein eveneens aan refereert bij de vergelijking (22.178/E75) voor de relativistische precessie (naast zijn eigen berekening van 18 november). Helaas bleek de oorlog Karl Schwarzschild minder goed gestemd dan hij dacht, want in mei 1916 sterft hij aan een ziekte die hij in de loopgraven in Rusland had opgedaan. Zijn naam leeft onder andere voort als de eerste mens die een exacte oplossing vond voor de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie én, daaruit voortkomend, de Schwarzschild-straal. Zoals hierboven in de brief te lezen is gebeurt er ‘iets raars’ indien γ/R gelijk wordt aan één. Een noemer van het interval ds wordt dan gelijk aan nul en er ontstaat een soort barrière in de ruimtetijd, een point-of-no-return als je er vanaf ‘onze kant’ doorheen gaat. Destijds was dit moeilijk te begrijpen en nog moeilijker te aanvaarden, in de eerste plaats door Einstein zelf, maar tegenwoordig staat γ/R = 1 te boek als de horizon van een zwart gat: de Schwarzschild-straal. Zo zijn we aan het einde gekomen van dit artikel van Albert Einstein over de algemene relativiteitstheorie. Een theorie met verstrekkende resultaten zoals dat een klok onder de invloed van zwaartekracht langzamer gaat lopen. De implicaties van zijn theorie gingen zo ver dat Einstein zelf ze niet allemaal (direct) wilde aanvaarden. Ik noemde hierboven al de zwarte gaten maar ook de uitdijing van het heelal is iets waar Einstein zich aanvankelijk tegen verzette. De schoonheid van de werkelijkheid is zo onvoorstelbaar dat onze extreem bekrompen geesten daar simpelweg (nog) geen raad mee weten. Zelfs niet als je Albert Einstein heet.