Anti-symmetrie in de Riemann-tensor
Laat zien dat de Riemann-tensor anti-symmetrisch is in de laatste twee indices.
Dit is de Riemann-tensor:
De Riemann-tensor volgens vergelijking (1) is gegeven in Christoffel-symbolen.
De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:
En de definitie van de Christoffel-symbolen van de tweede soort is:
Ik ga even een klein beetje knutselen met vergelijking (1):
En zo gemakkelijk bereiken we reeds het antwoord.
Door de derde index en de vierde index van de Riemann-tensor te verwisselen wisselen alle componenten van de tensor
van teken.
Of heel netjes gezegd: de Riemann-tensor is anti-symmetrisch in de laatste twee indices (symmetrisch betekent dat je
probleemloos twee indices mag verwisselen en anti-symmetrisch betekent dat bij verwisseling van twee indices er een
tekenwisseling plaatsvindt).