Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Vectoren, vraagstuk 88

Het oppervlak S wordt gegeven door:

De normaal van S is naar boven gericht. Het vectorveld F wordt gegeven door:

Bereken:

Rechtstreeks.
Door eerst de flux door een cirkelschijf in het x-y-vlak te berekenen en dan gebruik te maken van de stelling van Gauss.
Uit het hoofd.

De grafiek van z = 4 − x² − y²

Dit plaatje is waarschijnlijk duidelijker:

De grafiek van z = 4 − x² − y²

Het vectorveld F

Rechtstreeks.

Ik ga eerst een parametrisering voor S opzoeken en omdat het een omwentelingslichaam om de z-as betreft doe ik dat in cilindercoördinaten. In cilindercoördinaten geldt voor deze paraboloïde:

Een parametrisering voor S wordt dan:

Door partieel te differentiëren verkrijg ik twee richtingsvectoren aan het oppervlak:

Door het uitwendig product te nemen van deze twee partiële afgeleiden kan ik de vector dA bepalen. En de volgorde is belangrijk want dA moet naar boven wijzen:

De z-component van dA is r en die is altijd positief dus dA wijst inderdaad naar boven. Het vectorveld F is gegeven als:

Het inwendig product F ∙ dA is:

Dan wordt de integraal:
Door eerst de flux door een cirkelschijf in het x-y-vlak te berekenen en dan gebruik te maken van de stelling van Gauss.

Ik ga eerst een parametrisering voor de cirkelschijf C opzoeken en dat doe ik in poolcoördinaten (of cilindercoördinaten waarbij z = 0, het is maar net hoe je het wilt zien):

Een parametrisering voor C wordt dan:

Door partieel te differentiëren verkrijg ik twee richtingsvectoren aan het oppervlak:

Door het uitwendig product te nemen van deze twee partiële afgeleiden kan ik de vector dA bepalen:

Het inwendig product F ∙ dA is:

Dan wordt de integraal:

Gauss

Nu gaan we eens echt nadenken. Volgens meneer Gauss geldt de stelling van Gauss:

Oftewel, de flux door de cirkelschijf C en de flux door het oppervlak S van de paraboloïde zijn samen gelijk aan de divergentie van het veld F in het omsloten gebied G. Dat gaan we eens nader onderzoeken. kennen we als volgt:

De divergentie van het veld is:

En dan is de integraal uiteraard ook nul:

Daaruit volgt:

Oftewel:

En nu moeten we even goed naar de tekens kijken want de vector dA die ik heb bepaald voor de cirkelschijf C wijst naar boven net zoals de vector dA van het oppervlak S. Maar de stelling van Gauss schrijft voor dat dA over het totale gesloten oppervlak (C + S) dezelfde kant opwijst, dus of naar buiten of naar binnen. En dat is niet het geval want de vector dA van S wendt zich van het omsloten gebied G af in tegenstelling tot de vector dA van C. Om alles kloppend te maken moet ik er een minteken bij inbrengen:

Waaruit volgt:
Uit het hoofd.

Het vectorveld F bestaat uit allemaal vectoren (1, 1, 1). Overal zijn alleen maar vectoren (1, 1, 1), nergens zijn ze langer of korter. De vectoren wijken niet uit elkaar of komen dichter naar elkaar toe, dus de divergentie is nul. Daarnaast zit er ook helemaal niet iets van een werveling in het veld, dus de rotatie is ook nul. Dit veld is net zo saai en voorspelbaar als dit land.

Voor het inwendig product F ∙ dA van de cirkelschijf C is de z-component van F van belang en die is altijd 1. De integraal van dit inwendig product is dus de integraal van het oppervlak van de cirkelschijf:

En volgens de stelling van Gauss is de flux door de bodem van de paraboloïde (de cirkelschijf C) gelijk aan de flux door de mantel van de paraboloïde (het oppervlak S). Het antwoord is dus 4π.