Vectoren, vraagstuk 78
Onderzoek van de volgende vectorvelden of ze conservatief zijn door na te gaan of er een potentiaalfunctie is:
-
Een vectorveld is conservatief indien het de gradiënt is van een scalarveld:
Het vectorveld vIn een dergelijk geval is het scalarveld G de potentiaalfunctie van v. Deze potentiaalfunctie gaan we nu opzoeken. Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar x volgt:
Door integratie verkrijg ik:
Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar x kan het niet anders dan dat c enkel een functie van y en z is:
Voor G kan ik dus schrijven:
Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar y volgt:
Door integratie verkrijg ik:
Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar y kan het niet anders dan dat c enkel een functie van x en z is:
Een deel van deze functie zijn we hiervoor al tegengekomen, namelijk zx, en de rest kan dan enkel nog een functie van z zijn:
Voor G kan ik nu dus schrijven:
Tenslotte volgt uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar z:
Door integratie verkrijg ik:
De x-y-z-constructies die hier in staan zijn helemaal in overeenstemming met wat we al gevonden hadden voor G. De constante c is in dit geval dus een ‘gewoon’ getal (zoals het zou moeten zijn). De uiteindelijke beschrijving van het scalarveld is:
Waarmee aangetoond is dat het veld v conservatief is.
-
We gaan opnieuw de procedure doorlopen die we hiervoor gevolgd hebben om de potentiaalfunctie van w te vinden. Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar x volgt:
Het vectorveld vDoor integratie verkrijg ik:
Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar x kan het niet anders dan dat c enkel een functie van y en z is:
Voor G kan ik dus schrijven:
Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar y volgt:
Door integratie verkrijg ik:
Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar y kan het niet anders dan dat c enkel een functie van x en z is:
Een deel van deze functie zijn we hiervoor al tegengekomen, namelijk zx, en de rest kan dan enkel nog een functie van z zijn:
Voor G kan ik nu dus schrijven:
Tenslotte volgt uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar z:
Door integratie verkrijg ik:
Maar nu is er een kink in de kabel. De x-y-z-constructies die hier in staan zijn niet in overeenstemming met wat we al gevonden hadden voor G (de term xz tegenover de term −xz). Dit veld w is daarom niet conservatief.
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 79
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 77
Overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 30
Vectoren, vraagstuk 75
Alle symmetrieën van de Riemann-tensor
De Taylor-reeks van
De Taylor-reeksen van
Vind de nulpunten van f (x) = ax − xa
De gammafunctie
Holomorfie van de functie
Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 8: rekenvoorbeelden
Het tekenen van een wereldlijn
De ART-vergelijkingen in componenten van de metrische tensor
Gravitationele rood-/blauwverschuiving
Elektriciteit en magnetisme
De integraal van
De Witte Dag
De integraal van
De cycloïde
De minimale straal van een holle bol
Een planeettijdreismachine
De integralen van
Getijdenkrachten
Zijn wij vroeg of laat?
Overzichtspagina wiskunde
Overzichtspagina natuurkunde
Overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen