Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie

Vectoren, vraagstuk 77

Gegeven het scalarveld:

Bereken:

Waarbij de kromme k het beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt (1, 1, 1) heeft. Voor het vectorveld geldt:

Hierbij wordt k gegeven door:

Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1).
De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1).
De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1).
De kromme met parametrisering:
De kromme met parametrisering:

De grafiek van G (x, y, z) = x² + y² + z² + xyz voor z = 0

De grafiek van G (x, y, z) = x² + y² + z² + xyz voor z = 1

De grafiek van G (x, y, z) = x² + y² + z² + xyz voor z = 2

De grafiek van G (x, y, z) = x² + y² + z² + xyz voor z = 3

Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1).

Ik reken eerst het vectorveld F uit:

Het vectorveld F
Dit vectorveld is een gradiëntveld (een conservatief veld) en daarom maakt het niet uit via welke route (kromme) we van A naar B door dit veld bewegen. Deze integraal zal in alle gevallen hetzelfde antwoord op moeten leveren:

Dat gaan we eens grondig narekenen. Eerst hebben we een parametrisering nodig van k. Als steunvector en richtingsvector gebruik ik:

Daarmee wordt de parametrisering van k:

Hieruit kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld ook schrijven als:

De afgeleide van de kromme wordt:

En dit is uiteraard gelijk aan de richtingsvector van de kromme. Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:

Daarmee wordt de integraal:
De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1).

De kromme k bestaat nu uit drie verschillende lijnstukken, dus we doorlopen het hele verhaal nu driemaal. Voor het eerste deel gebruik ik als steunvector en richtingsvector:

Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:

Hieruit kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:

De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:

En dit is uiteraard weer gelijk aan de richtingsvector. Het inwendig product F ∙ dr wordt:

Daarmee wordt de integraal:

Op naar deel twee, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:

Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:

Hieruit kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:

De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:

Het inwendig product F ∙ dr wordt:

Daarmee wordt de integraal:

En tenslotte deel drie, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:

Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:

Hieruit kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:

De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:

Het inwendig product F ∙ dr wordt:

Daarmee wordt de integraal:

En dat brengt ons bij het eindresultaat:
De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1).

De kromme k bestaat nu weer uit drie verschillende lijnstukken, dus we doorlopen het hele verhaal nu wederom driemaal. Voor het eerste deel gebruik ik als steunvector en richtingsvector:

Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:

Hieruit kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:

De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:

En dit is uiteraard weer gelijk aan de richtingsvector. Het inwendig product F ∙ dr wordt:

Daarmee wordt de integraal:

Op naar deel twee, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:

Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:

Hieruit kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:

De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:

Het inwendig product F ∙ dr wordt:

Daarmee wordt de integraal:

En tenslotte deel drie, als steunvector en richtingsvector gebruik ik:

Daarmee wordt de parametrisering van dit deel van k:

Hieruit kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:

De afgeleide van dit deel van de kromme wordt:

Het inwendig product F ∙ dr wordt:

Daarmee wordt de integraal:

En dat brengt ons bij het eindresultaat:
De kromme met parametrisering:

De grafiek van r (t) = (x = t, y = t², z = t³)
Uit de parametrisering van de kromme kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:

De afgeleide van de kromme wordt:

Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:

Daarmee wordt de integraal:
De kromme met parametrisering:

De grafiek van r (t) = (x = t³, y = t², z = t)
Uit de parametrisering van de kromme kan ik aflezen dat:

Daarmee kan ik het vectorveld schrijven als:

De afgeleide van de kromme wordt:

Het inwendig product F ∙ dr wordt dan:

Daarmee wordt de integraal:

Inderdaad hebben we in alle gevallen hetzelfde antwoord verkregen voor de integraal, namelijk: 4.