Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Vectoren, vraagstuk 74

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

De functie f (x) = a^x − x^a

De integralen van
f (x) = tanⁿ (ax)

Ze zijn er niet

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − a² cos² x)^1/2

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Vectoren, vraagstuk 74

Veldlijnen van een in poolcoördinaten gegeven vectorveld.

Bekijk het vectorveld:

Noem de parametervoorstelling van een veldlijn:

Laat zien dat de coördinaatfuncties van een veldlijn oplossingen zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen:
Bepaal de parametervoorstelling (in poolcoördinaten) van de veldlijn door het punt (1, 0) van het vectorveld:
Bepaal voor de gevonden veldlijn r als functie van θ, zodat de veldlijn getekend kan worden.

Laat zien dat de coördinaatfuncties van een veldlijn oplossingen zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen:

Voor de snelheid in de richting van r (de tangentiële snelheid) geldt:

Voor de snelheid in de richting van θ (de radiële snelheid) ligt het iets gecompliceerder. We kennen (neem ik aan):

Door deze vergelijking te verbouwen krijg ik:

Samengevat hebben we nu:
Bepaal de parametervoorstelling (in poolcoördinaten) van de veldlijn door het punt (1, 0) van het vectorveld:

Het vectorveld v
Uit de parametervoorstelling van het vectorveld kan ik aflezen dat:

Hieruit kan ik door integratie r (t) en θ (t) berekenen als volgt:

Door t = 0 te kiezen en het punt (1, 0) in te vullen vind ik de beide constanten:

Zodat de veldlijn tenslotte wordt:
Bepaal voor de gevonden veldlijn r als functie van θ, zodat de veldlijn getekend kan worden.

Voor r geldt dat:

Hiermee kunnen we θ schrijven als:

Samengevat:

De grafiek van r (θ) = e^θ

Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 75

Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 73

Overzichtspagina met vraagstukken

Vraagstukken xref voor de UT

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = x⁴/(a² − x²)^1/2

De integraal van
f (x) = cos² x/(a + b cos x + c sin x + d cos² x + e sin² x)^3/2

De integraal van
f (x) = sin ln (ax)

De integraal van
f (x) = cos (ax)/(1 + cos (ax))³

De integralen van
f (x) = xⁿ cos (ax)

De integralen van
f (x) = 1/(1 + a sin x) versus f (x) = 1/(1 + a cos x)

Vectoren, vraagstuk 20

Vectoren, vraagstuk 65

Vraagstukken xref voor de UT

De Taylor-reeks van
f (x) = (1 − x)^1/2

De Taylor-reeks van
f (x) = x/(a − x)²

De gammafunctie

Holomorfie van de functie
f (z) = (1 + i) (x + y)²

Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 6: voelen

Driedimensionale - en vierdimensionale snelheid

Een ruimtereis naar het sterrenstelsel Andromeda

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De energie die een zwart voorwerp uitstraalt

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Overzichtspagina wiskunde

Overzichtspagina natuurkunde

Overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026