Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Vectoren, vraagstuk 72

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

Vectoren, vraagstuk 72

De stroomlijnen of veldlijnen van een vectorveld zijn de banen die door een deeltje worden gevolgd als het snelheidsveld het gegeven vectorveld is. Dat betekent dus dat de vectoren in een vectorveld raken aan de veldlijnen. We bekijken nu het (tweedimensionale) vectorveld:

Gebruik de tekening van het vectorveld om een paar veldlijnen te tekenen. Hoe zouden de vergelijkingen van de veldlijnen er uit kunnen zien?
Laat een veldlijn een parametervoorstelling hebben van de vorm:

Leg uit dat de coördinaatfuncties x (t) en y (t) van een veldlijn oplossingen zijn van de differentiaalvergelijkingen:
Vind een parametervoorstelling en de vergelijking van de veldlijn door het punt (1, 1).

Gebruik de tekening van het vectorveld om een paar veldlijnen te tekenen. Hoe zouden de vergelijkingen van de veldlijnen er uit kunnen zien?

Dit vectorveld ziet er ongeveer zo uit:

Met Python geplot ziet dat er zo uit:

Tsja, waar lijkt dit op? Ik heb niet zo veel vectoren getekend, maar ze gaan steiler in de buurt van de y-as en horizontaler in de buurt van de x-as. Daarnaast worden ze groter naarmate ze verder verwijderd zijn van de oorsprong. Dus de veldlijnen (waar deze vectoren aan raken) zien er uit als iets hyperboolachtigs, dus y = a/x of y = a/x² of iets dergelijks.
Laat een veldlijn een parametervoorstelling hebben van de vorm:

Leg uit dat de coördinaatfuncties x (t) en y (t) van een veldlijn oplossingen zijn van de differentiaalvergelijkingen:

Het gegeven vectorveld is een snelheidsveld. De veldlijnen zijn de banen die deeltjes volgen binnen dit veld dus de veldlijnen zijn positielijnen of plaatslijnen of hoe je het ook wilt noemen. Snelheid is de afgeleide van positie:

En als we dit wat verder uitwerken:

Daarnaast weten we ook:

Uit deze beide vergelijkingen volgt:
Vind een parametervoorstelling en de vergelijking van de veldlijn door het punt (1, 1).

Omdat alleen de e-macht functie zijn eigen afgeleide is kan het niet anders dan:

Vervolgens ga ik t schrijven als functie van x:

Daarmee kan ik y herschrijven als:

Het punt (1, 1) is gegeven en die vul ik nu in:

Voor het gemaak kies ik:

De parametervoorstelling wordt dan:

En de vergelijking:

Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 73

Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 71

Overzichtspagina met vraagstukken

Vraagstukken xref voor de UT

De integraal van
f (x) = x² (ax + b)^1/2

De integraal van
f (x) = sinⁿ (ax)
(n = even)

De integraal van
f (x) = artanh (ax)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integralen van
f (x) = xⁿ

De integralen van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Vectoren, vraagstuk 39

Vectoren, vraagstuk 84

De Taylor-reeks van
f (x) = e^−x

De Taylor-reeksen van
f (x) = b^±ax

De stelling van Green

Holomorfie van de functie
f (z) = f₁ (z) + f₂ (z)

Holomorfie van de functie
f (z) = f₁ (z) + a

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 4

Elektrische kracht of magnetische kracht?

Ruimtetijdkromming

Het magnetische veld in een rechte spoel

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

Overzichtspagina wiskunde

Overzichtspagina natuurkunde

Overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026