Waarom zet ik de indices bij de vectoren hoog en niet laag? Dit heeft te maken met transformaties van vectoren van het ene coördinatenstelsel naar het andere. Stel dat ik A^ν twee keer zo groet noem, ik noem ze bijvoorbeeld acht terwijl ze eerst vier waren (terwijl er fysiek niets verandert!), dan zal de transformatie naar een ander stelsel de helft worden omdat er anders ineens hele andere waarden uitkomen voor A^σ in dat andere stelsel. Deze tegenbeweging, A^ν wordt groter en dus wordt de transformatie evenredig kleiner, heet contravariant. Dit is heel belangrijk om goed te begrijpen en daarom kijken we nog eens naar een van de vorige figuren, maar dan met de basisvectoren erbij in getekend. Zoals ik eerder al zei bestaat de vector x uit componenten x₁ en x₂, x (x₁, x₂), maar die componenten kun je op hun beurt ook weer zien als vectoren: x₁ (x₁, 0), x₂ (0, x₂). De basisvectoren e_n zijn eenheidsvectoren (vectoren met de lengte één) en liggen op de assen (eentje op elke as) met hun staart (de niet-pijlpunt) in de oorsprong. Er zijn dus net zoveel basisvectoren als dimensies (in het bovenstaande plaatje zijn het er twee). De basisvectoren hebben de eigenschap dat ze onafhankelijk zijn van elkaar, dit houdt in dat het nooit mogelijk is om een basisvector te beschrijven als de som van andere basisvectoren (in zijn algemeenheid geldt dat een aantal vectoren onafhankelijk is van elkaar indien voor iedere vector geldt dat die niet te beschrijven is als som van de andere vectoren). Iedere niet-basisvector is te beschrijven als de som van basisvectoren, in bovenstaande figuur is de vector x de som van 6 basisvectoren e₁ (= de vector x₁) en 4 basisvectoren e₂ (= de vector x₂). De componenten van x zijn dus (6, 4). De basisvectoren e_n (ik generaliseer even voor n dimensies) vormen de vectorbasis (dit is een open deur ☺) of kortweg basis. Ik kan in het plaatje hierboven nog een ziljoen vectoren erbij tekenen die allemaal samengesteld kunnen worden uit de basisvectoren e₁ en e₂ totdat het vlak helemaal zwart ziet van de vectoren. Dit zwarte vlak noemen we een vectorruimte, ongeacht of we 2 dimensies hebben of 3 of misschien wel 57, we zeggen altijd dat de basisvectoren een basis vormen voor een vectorruimte. Wanneer we nu overgaan van basisvector e₁ op basisvector e₁' in een ander coördinatenstelsel, waarbij e₁' exact tweemaal zo groot is als e₁, dan zal de eerste component van x half zo groot worden want aan de vector x zelf verandert helemaal niets. De beschrijving van x verandert dus wel, maar aan de pijl die de vector voorstelt verandert niets. Deze nieuwe beschrijving van x noem ik x'. In de nieuwe basis worden de componenten van x' dan (3, 4). Dus als de nieuwe basisvector e₁' p maal zo groot is als e₁, dan wordt de eerste component van x' 1/p maal zo groot (= p maal zo klein), een tegenbeweging dus. ‘Gewone’ vectoren transformeren aldus contravariant, zij krijgen een hoge index mee en we noemen ze contravariante vectoren. Basisvectoren transformeren covariant, zij krijgen een lage index mee en we noemen ze covariante vectoren of covectoren.

Dus covariant → lage index, en contravariant → hoge index. Onthouden hoor! En hoe weet je of hoge indices geen exponenten van machten moeten voorstellen? Dat weet je niet, dat blijkt uit de context van het verhaal. Ga er maar van uit dat in het geval van relativiteitstheorie er doorgaans sprake is van indices en niet van exponenten. En als het niet zo is, dan is het anders (Johan Cruijff zou het gezegd kunnen hebben... ☺).