Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(ax^3 + bx^2 + cx + d)^1/2

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De Natuur spreekt: Het Woud

De Natuur spreekt: De Golf

Het probleem van de gevangenen

Mijn nieuwe fiets

Bereken de energie-inhoud van het elektrische veld van een geladen bol

De race tegen de lichtstraal

Wat maakt een zwart gat nou eigenlijk tot een zwart gat?

Bereken de Ricci-scalar voor de Schwarzschild-metriek

Bereken alle componenten van de Ricci-tensor voor de Schwarzschild-metriek

Laat zien dat de Schwarzschild-oplossing een oplossing is van de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie

Bereken het elektrische veld van een hele lange geladen geleider

Schrijf de Schwarzschild-metriek om van bolcoördinaten naar isotrope coördinaten

Leid de wet van Betz af

Is er voldoende zonne-energie beschikbaar om aan de energiebehoefte van de mensheid te voldoen?

De energie die een zwart voorwerp uitstraalt

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Bereken de kinetische energie van een voorwerp

Wat geeft jouw leven betekenis?

Analyse van een model voor de dichtheid van de Zon

Schrijf de ART-vergelijkingen volledig uit in componenten van de metrische tensor

Hoe vormt zich de Ricci-scalar?

Hoe vormt zich de Ricci-tensor?

Wat is de metrische tensor?

Covariant en contravariant, een uitgewerkt voorbeeld

Hoeveel onafhankelijke componenten heeft de Riemann-tensor?

Wat is de Bianchi-identiteit?

Hoeveel mathematisch verschillende componenten heeft de Riemann-tensor maximaal?

Toon alle symmetrieën van de Riemann-tensor aan

Geef een overzicht van alle relativistische transformatievergelijkingen

De reis naar het sterrenstelsel Andromeda

Het klimaatprobleem

Hyperbolische functies in elkaar omschrijven

De trompet van Torricelli

Over corona: taalgebruik

Over corona: wat heb ik te doen?

Laat op verschillende manieren zien dat het inwendig product invariant is

Hoe bepaal je de covariante - en contravariante componenten van een vector?

Het reciprociteitsprincipe

Hoe weet je dat de Lorentz-transformaties lineair moeten zijn?

Bereken het traagheidsmoment van de Zon

Hoe modelleer je de dichtheid van de Zon?

Hoe kom je er achter dat er een maximale snelheid is?

Snelheden relativistisch optellen zonder lichtsnelheidinvariantie

Het elektron op de as van een geladen ring

Bereken het elektrische veld op de as van een geladen ring

Eén gram elektronen in een kistje hier en op de Maan, wat gebeurt er?

Vind een zo algemeen mogelijke oplossing voor de algemene golfvergelijking

Leid de algemene golfvergelijking af

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub Gℏc

Natuurkundeclub Gℏc (openbare pagina)

Natuurkundeclub Gℏc (besloten pagina)

Stamboom Contact

De integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

De grafiek van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 voor a = 4, b = −16, c = 13, d = −3 (de rode lijn),
a = 3, b = −15, c = 21, d = −9 (de groene lijn) en a = 2, b = −16, c = 40, d = −32 (de blauwe lijn)

Om te beginnen ga ik die derdegraads vergelijking normaliseren:

Ik stel:

Hiermee wordt de functie:

Ik haal er even een hulpvariabele bij:

De discriminant is nul, dus er zijn twee nulpunten. Of preciezer gezegd: twee nulpunten vallen samen en vormen een raakpunt. Die kan ik als volgt berekenen (x₁ is het snijpunt, x₂ is het raakpunt):

Het verschil van x₂ en x₁ is:

Omdat q'' negatief is, is het verschil van x₂ en x₁ ook negatief. Het raakpunt x₂ ligt dus links van het snijpunt x₁. De integraal wordt dan:

Nu ga ik het hele boeltje verschuiven zodat het raakpunt in de oorsprong komt te liggen. Ik stel:

Hiermee wordt de integraal:

De oplossing van de integraal van 1/(x (ax − b)^1/2) kun je elders vinden in de tabel met integralen:

Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x:

Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:

De grafiek van F (x) voor a = 4, b = −16, c = 13, d = −3 (de rode lijn),
a = 3, b = −15, c = 21, d = −9 (de groene lijn)
en a = 2, b = −16, c = 40, d = −32 (de blauwe lijn), C = 0

Door naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Terug naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Tabel met integralen

Tabel met afgeleiden

Tabel met Taylor-reeksen

Differentiëren

De integraal van
f (x) = 1/(ax + b)^1/2

De integraal van
f (x) = 1/(1 − sin x)

De integraal van
f (x) = x ln (a − x)

De integralen van
f (x) = xⁿ ∙ 1/(ax − b)^1/2

Vectoren, vraagstuk 29

Vectoren, vraagstuk 67

Vraagstukken xref voor de UT

Tabel met Taylor-reeksen

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(a + x²)^1/2

De stelling van Green

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 6

Afleiding van E = mc²

Een ruimtereis naar het sterrenstelsel Andromeda

Het modelleren van de dichtheid van de Zon

Vraagstukken algemene natuurkunde

De illusie dat dit een rechtvaardige wereld is

Reizigers naar de werkelijkheid

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2023