Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(ax^3 + bx^2 + cx + d)^1/2

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

De integraal van f (x) = x^p sin (ax)

Leid de Boltzmann-verdeling af

De integraal van f (x) = (ax² + bx + c) e^{− (ax² + bx + c)}

De integraal van f (x) = x² e^−ax²

Bereken de energie in een condensator

Bereken de energie in een spoel

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De afgeleide van f (x) = x!

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

De trapeziummethode

De integraal van f (x) = xⁱ

De integraal van f (x) = sin ln (ax)

De integraal van f (x) = cos ln (ax)

De integraal van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 (D < 0)

LaTeX symbolen: wiskundige ruimtes

Afleiding van de energie-impuls-relatie

De reis naar de werkelijkheid van Rolando Toro

De Excel bestanden die gebruikt zijn voor deze website

De Python code van deze website

De Natuur spreekt: Het Woud

De Natuur spreekt: De Golf

Het probleem van de gevangenen

Mijn nieuwe fiets

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub Gℏc

Natuurkundeclub Gℏc (openbare pagina)

Natuurkundeclub Gℏc (besloten pagina)

Stamboom Contact

De integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

De grafiek van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 voor a = 2, b = −13, c = 24, d = −9 (de rode lijn),
a = 3, b = −21, c = 45, d = −27 (de groene lijn) en a = 2, b = −20, c = 64, d = −64 (de blauwe lijn)

Gegeven is dat a > 0, dus die derdegraads vergelijking in de noemer ‘begint’ ergens linksonder (in het derde kwadrant) en ‘eindigt’ ergens rechtsboven (in het eerste kwadrant).

a < 0

a > 0

Verder is gegeven dat de discriminant D nul is, dus er zijn twee nulpunten.

D < 0

D = 0

D > 0

Voor de duidelijkheid maak ik een grafiek van alleen de derdegraads vergelijking.

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = 2, b = −13, c = 24, d = −9 (de rode lijn),
a = 3, b = −21, c = 45, d = −27 (de groene lijn) en a = 2, b = −20, c = 64, d = −64 (de blauwe lijn)

Ik zal ook nog even verticaal inzoomen in de buurt van de horizontale as.

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = 2, b = −13, c = 24, d = −9 (de rode lijn),
a = 3, b = −21, c = 45, d = −27 (de groene lijn) en a = 2, b = −20, c = 64, d = −64 (de blauwe lijn)

Om te beginnen ga ik die derdegraads vergelijking normaliseren:

Ik stel:

Hiermee wordt de functie:

Ik haal er even een hulpvariabele bij:

De discriminant is nul, dus er zijn twee nulpunten. Of preciezer gezegd: twee nulpunten vallen samen en vormen een raakpunt. Die kan ik als volgt berekenen (x₁ is het snijpunt, x₂ is het raakpunt):

Het verschil van x₂ en x₁ is:

Omdat q'' positief is, is het verschil van x₂ en x₁ ook positief. Het raakpunt x₂ ligt dus rechts van het snijpunt x₁. De integraal wordt dan:

Nu ga ik het hele boeltje verschuiven zodat het raakpunt in de oorsprong komt te liggen. Ik stel:

Hiermee wordt de integraal:

De oplossing van de integraal van 1/(x (ax + b)^1/2) kun je elders vinden in de tabel met integralen (de plusmintekens verschijnen in verband met de absolute waarde van u). Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:

Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x:

Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:

De grafiek van F (x) voor a = 2, b = −13, c = 24, d = −9 (de rode lijn),
a = 3, b = −21, c = 45, d = −27 (de groene lijn)
en a = 2, b = −20, c = 64, d = −64 (de blauwe lijn), C = 0

Door naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Terug naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2

Tabel met integralen

Tabel met afgeleiden

Tabel met Taylor-reeksen

Differentiëren

Derdegraads vergelijking oplossen

De integraal van
f (x) = 1/(x (ax + b)^1/2)

Wiskunde algemeen

De integraal van
f (x) = 1/(ax − b)^1/2

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos x)

De integraal van
f (x) = cos x sin² x/(1 − a² cos² x)^1/2

De integralen van
f (x) = xⁿ ∙ 1/(ax² + bx + c)

Vectoren, vraagstuk 16

Vectoren, vraagstuk 54

Vectoren, vraagstuk 92

Tabel met Taylor-reeksen

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(a − x)

De stelling van Gauss

Relativiteitstheorie

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 14

De transformatievergelijkingen voor impuls

Wat maakt een zwart gat tot een zwart gat?

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2024