Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(ax^3 + bx^2 + cx + d)^1/2

De integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2

De grafiek van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 voor a = 2, b = −4, c = −2, d = 4 (de rode lijn),
a = 8, b = −42, c = 61, d = −21 (de groene lijn) en a = 3, b = 15, c = 18, d = 0 (de blauwe lijn)

Gegeven is dat a > 0, dus die derdegraads vergelijking in de noemer ‘begint’ ergens linksonder (in het derde kwadrant) en ‘eindigt’ ergens rechtsboven (in het eerste kwadrant).

a < 0

a > 0

Verder is gegeven dat de discriminant D positief is, dus er zijn drie nulpunten.

D < 0

D = 0

D > 0

Voor de duidelijkheid maak ik een grafiek van alleen de derdegraads vergelijking.

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = 2, b = −4, c = −2, d = 4 (de rode lijn),
a = 8, b = −42, c = 61, d = −21 (de groene lijn) en a = 3, b = 15, c = 18, d = 0 (de blauwe lijn)

Ik zal ook nog even verticaal inzoomen in de buurt van de horizontale as.

De grafiek van f (x) = ax³ + bx² + cx + d voor a = 2, b = −4, c = −2, d = 4 (de rode lijn),
a = 8, b = −42, c = 61, d = −21 (de groene lijn) en a = 3, b = 15, c = 18, d = 0 (de blauwe lijn)

Voor het oplossen van deze integraal maken we maximaal gebruik van de trucendoos. Om te beginnen ga ik die derdegraads vergelijking normaliseren:

Ik stel:

Hiermee wordt de functie:

Ik haal er even wat hulpvariabelen bij:

De discriminant is positief, dus er zijn drie nulpunten. Die kan ik als volgt berekenen (van links naar rechts, dus x₁ < x₂ < x₃):

Hiermee wordt de functie:

De integraal wordt dan:

Nu ga ik het hele boeltje verschuiven zodat het linkernulpunt in de oorsprong komt te liggen. Ik stel:

Hiermee wordt de integraal:

Vervolgens stel ik:

Hiermee wordt de integraal:

Ik ga gebruik maken van goniometrische substitutie door secans of cosecans :

Hiermee wordt de integraal:

Ik stel:

Hiermee wordt de integraal:

Deze integraal staat te boek als de elliptische integraal van de eerste soort. De oplossing van die integraal kun je elders vinden in de tabel met integralen:

Nu moet t uiteraard weer vervangen worden door x:

En ik ga h anders opschrijven:

Die eerste term van het antwoord neem ik ook nog even onder handen:

Om het uiteindelijke antwoord op te schrijven neem ik de reeks met al die sinussen, want die convergeert het beste:

Om te voorkomen dat je tegen de grenzen van je rekenprogramma aanloopt is het wel handig om niet iedere term opnieuw te berekenen, maar ten opzichte van de voorgaande term:

De grafiek van F (x) voor a = 2, b = −4, c = −2, d = 4 (de rode lijn),
a = 8, b = −42, c = 61, d = −21 (de groene lijn) en a = 3, b = 15, c = 18, d = 0 (de blauwe lijn), C = 0,
10 termen meegenomen

Voor het maken van de bovenstaande grafiek heb ik tien termen meegenomen en dan is het even goed opletten of dat wel genoeg is. Daarom maak ik de grafiek nogmaals, maar dan met tien termen extra.

De grafiek van F (x) voor a = 2, b = −4, c = −2, d = 4 (de rode lijn),
a = 8, b = −42, c = 61, d = −21 (de groene lijn) en a = 3, b = 15, c = 18, d = 0 (de blauwe lijn), C = 0,
20 termen meegenomen

Voor de duidelijkheid leg ik de beide voorgaande grafieken over elkaar heen (met een ander kleurtje).

De grafiek van F (x) voor a = 2, b = −4, c = −2, d = 4 (de rode lijn),
a = 8, b = −42, c = 61, d = −21 (de groene lijn) en a = 3, b = 15, c = 18, d = 0 (de blauwe lijn), C = 0,
10 termen meegenomen,
de grafiek van F (x) voor a = 2, b = −4, c = −2, d = 4 (de oranje lijn),
a = 8, b = −42, c = 61, d = −21 (de paarse lijn) en a = 3, b = 15, c = 18, d = 0 (de grijze lijn), C = 0,
20 termen meegenomen

De grafieken zijn in dit geval identiek, dus tien termen meenemen is voldoende. De problemen ontstaan wanneer twee nulpunten dicht bij elkaar in de buurt komen, want dan ontstaat een van beide onderstaande situaties en moeten er heel veel meer termen meegenomen worden om tot een nauwkeurig antwoord te komen.

De integraal vanf (x) = 1/(ax3 + bx2 + cx + d)1/2

De integraal van
f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2