De integraal van
f (x) = e−ax2
Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = e−ax2
De grafiek van f (x) = e
−ax2 voor a = 1 (de rode lijn),
a = 1.5 (de groene lijn) en a = 2 (de blauwe lijn)
Deze functie is in deze vorm niet te
integreren
en daarom wenden we ons tot
reeksontwikkeling.
In de
tabel met Taylor-reeksen vinden we:
De
integraal wordt dan:
Ter controle ga ik het resultaat
differentiëren:
Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert
dan hebben we er niets aan.
De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term
voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in
absolute waarden gesproken uiteraard):
Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:
Deze reeks convergeert dus altijd, maar daar hoort wel een kanttekening bij.
Het uitdoven van de termen begint namelijk pas wanneer n > | ax
2 |.
Voor grote waarden van | x | kan het dus gebeuren dat er heel wat termen meegenomen moeten worden.
De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 1.5 (de groene lijn) en a = 2 (de blauwe lijn), c = 0,
100 termen meegenomen