Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = sin^2 x/(a + b cos x + c sin x + d cos^2 x + e sin^2 x)^3/2

De integraal van
f (x) = sin² x/(a + b cos x + c sin x + d cos² x + e sin² x)^3/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = sin² x/(a + b cos x + c sin x + d cos² x + e sin² x)^3/2

De grafiek van f (x) = sin² x/(a + b cos x + c sin x + d cos² x + e sin² x)^3/2 voor a = b = c = d = e = 0.2 (de rode lijn),
a = b = c = d = e = 0.5 (de groene lijn) en a = b = c = d = e = 0.8 (de blauwe lijn)

Het oplossen van deze integraal brengt heel wat transformaties met zich mee en het oplossen van talrijke vergelijkingen. Dat heb ik allemaal al uitgewerkt in deze integraal en dat ga ik hier niet allemaal over doen, want dat is een zeer omvangrijk verhaal. Daarom volgt hier een samenvatting.

Allereerst verbouw ik de te integreren functie door te stellen dat:

Zodat de functie deze overzichtelijker vorm krijgt:

Ik ga over naar een andere variabele, van x naar t:

Daarna komen er heel veel transformatievergelijkingen die tot diverse relaties tussen de α’s, β’s en γ’s leiden:

Ik stel:

Hiermee kom ik tot negen uitdrukkingen voor α₁, α₂, α₃, β₁, β₂, β₃, γ₁, γ₂ en γ₃ (in het kwadraat) als functies van f₁, f₂, f₃, g₁, g₂ en g₃:

Tevens volgen negen uitdrukkingen voor de diverse kruisproducten tussen de α’s, β’s en γ’s:

Uiteindelijk is dit de opmaat naar een derdegraads vergelijking om de drie nulpunten n₁, n₂ en n₃ te bepalen:

Dan volgt er een translatie:

Zo ontstaat de gereduceerde vergelijking:

Waarin:

Ik definieer de hoek θ':

Hiermee kunnen de drie nulpunten bepaald worden:

Daarna kan ik het volgende stellen:

De differentialen van x en t verhouden zich als volgt:

Zo ontstaat uiteindelijk de volgende integraal:

Met behulp van de vergelijkingen (8) wordt dit:

Omdat de grenzen van de integraal 0 en 2π zijn, kunnen we enkele termen van de teller van (103) wegstrepen omdat die als resultaat nul opleveren. Om dat in te zien heb ik een grafiek gemaakt van de term met de sinus (de blauwe lijn in de figuur hieronder).

De grafieken van f (t) = ν sin² t (de rode lijn), f (t) = 1/(1 − ν sin² t)^3/2 (de groene lijn)
en f (t) = sin t/(1 − ν sin² t)^3/2 (de blauwe lijn), ν = 0.5

Die sinusterm (de blauwe lijn) beweegt zich heerlijk symmetrisch om de x-as en door te integreren van 0 tot 2π levert dat nul als resultaat. Ditzelfde verhaal geldt natuurlijk ook voor de term met de cosinus:

De grafieken van f (t) = ν sin² t (de rode lijn), f (t) = 1/(1 − ν sin² t)^3/2 (de groene lijn)
en f (t) = cos t/(1 − ν sin² t)^3/2 (de blauwe lijn), ν = 0.5

En het geldt ook voor de term met het product van beide:

De grafieken van f (t) = ν sin² t (de rode lijn), f (t) = 1/(1 − ν sin² t)^3/2 (de groene lijn)
en f (t) = cos t sin t/(1 − ν sin² t)^3/2 (de blauwe lijn), ν = 0.5

Vergelijking (103) vereenvoudigt daarmee tot:

Nu ga ik die cos² t eruit werken:

Ik kan dit verder verbouwen tot:

Ik stel:

Waardoor (106) overgaat in:

En zo is onze integraal uiteindelijk uitgedrukt in twee bekende (elliptische) integralen. Deze beide integralen vinden we terug in de tabel met integralen. Aldus bereiken we het antwoord:

De integraal vanf (x) = sin2 x/(a + b cos x + c sin x + d cos2 x + e sin2 x)3/2

De integraal van
f (x) = sin² x/(a + b cos x + c sin x + d cos² x + e sin² x)^3/2