De integraal van
f (x) = 1/(1 − a2 cos2 x)1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(1 − a2 cos2 x)1/2

De grafiek van f (x) = 1/(1 − a2 cos2 x)1/2 voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn)
Deze integraal staat te boek als de complementaire elliptische integraal van de eerste soort. Voor het integreren van deze functie maak ik gebruik van de volgende formule uit de goniometrie:
Daarmee kan ik de functie ook schrijven als volgt:
Vervolgens stel ik:
Waardoor de functie tenslotte wordt:
De integraal wordt dan:
De oplossing van de integraal van (1 − a2 sin2 x)−1/2 kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit resultaat:
Dit klinkt allemaal heel logisch, maar het probleem is de convergentie van bovenstaande reeks. De convergentievoorwaarde is namelijk:
Dit gaat dus helemaal mis zoals uit het plaatje hieronder blijkt.

De grafiek van F (x) voor a2 = 0.1 (de rode lijn), a2 = 0.5 (de groene lijn)
en a2 = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0

Taylor

In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

De integraal wordt dan:
Dit gaan we term voor term integreren. De oplossingen van de integralen van al die cosinussen kun je elders vinden in de tabel met integralen. Zo komen we tot de volgende oplossing:
De elliptische integraal van de eerste soort wordt in de literatuur aangegeven met de letter K en bij deze integraal, de complementaire variant, komt er een sterretje bij:

De grafiek van F (x) voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
10 termen meegenomen


Elliptische integralen Eerste soort Tweede soort Derde soort
(vereenvoudigde vorm)
Standaardvorm
Toon uitwerking

Toon uitwerking

Toon uitwerking
Compleet
Toon uitwerking

Toon uitwerking

Toon uitwerking
Complementair
Toon uitwerking
(= deze pagina)

Toon uitwerking

Toon uitwerking
Complementair
én compleet

Toon uitwerking

Toon uitwerking

Toon uitwerking