Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(1 - a^2 cos^2 x)^1/2

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

De minimale straal van een holle bol

Een planeettijdreismachine

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Getijdenkrachten

Zijn wij vroeg of laat?

De Einstein-Rosen-brug

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De buitenkant van een wormgat

De integraal van
f (x) = (1 − (x/a)^2/3)^3/2

Het waarneembare universum

Wat is een wormgat?

Het traagheidsmoment van twee hemellichamen

De tweelingparadox

De energie van zwaartekrachtgolven

Een dag zonder verjaardagen

Het vermogen van zwaartekrachtgolven

Tijdsvertraging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Tijdsvertraging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal volgens Einstein

De integralen van
f (x) = xⁿ/(a² + x²)^5/2

Een andere manier van leven

Een reeks afsplitsen van een functie

Afbuiging van een lichtstraal (2^e orde benadering)

Afbuiging van een lichtstraal (1^e orde benadering)

Bewerkingen met reeksen

De Taylor-reeksen van
f (x) = x/(a ± x)²

De integralen van
f (x) = 1/((x + a)ⁿ (x² − a²))^1/2)

De integralen van
f (x) = cos^m (ax)/(1 + cos (ax))ⁿ

De integralen van
f (x) = (x²/(a² − x²))ⁿ

De massa van de atmosfeer

Hyper-Catalan-getallen

Een ontmoeting met aliens

Catalan-getallen

De Taylor-reeks van
f (x) = ln x

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = even)

De integraal van
f (x) = cotⁿ (ax) (n = oneven)

De integraal van
f (x) = tanⁿ (ax) (n = oneven)

De geodetische lijn van een lichtstraal bij een massa

De integralen van
f (x) = xⁿ/(x − a)

De integraal van
f (x) = 1/ln (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁵ (ax)

Een botsing met een zandkorrel

De opwarming van de Aarde

De integraal van
f (x) = cot¹⁰ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁸ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁶ (ax)

De integraal van
f (x) = cot⁴ (ax)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De gammafunctie

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x)

De integraal van
f (x) = e^iax exp (ib e^cx)

De integraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

De contourintegraal van
f (x) = x^b/(a² + x²)

Holomorfie van de functie f (z) = z^p

Het grote filter

De integraal van
f (x) = tan⁹ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁷ (ax)

De integraal van
f (x) = tan⁵ (ax)

Het getal e met een miljoen decimalen

De complete complementaire elliptische integraal van de derde soort

De complete complementaire elliptische integraal van de tweede soort

De complete complementaire elliptische integraal van de eerste soort

De complementaire elliptische integraal van de derde soort (vereenvoudigde vorm)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)²

De contourintegraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De integraal van
f (x) = 1/((a² + x²) (b² + x²))

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a cos² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De integraal van
f (x) = 1/(1 + a sin² x)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

De integraal van
f (x) = 1/(a² + x²)

Contourintegralen

Integreren van complexe functies

Het spectrum van een zwart gat

De convergentie van een reeks

De Taylor-reeks van
f (x) = arctan (ax)

Vergelijkingstabel gewone integralen versus contourintegralen

De contourintegraal van
f (x) = sin (ax)/x

De integraal van
f (x) = sin (ax)/x

Holomorfie van de functie f (z) = f (at)

De contourintegraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

De nulpunten van f (x) = a^x − x^a

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Wij en buitenaards leven

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub β’24 (openbare pagina)

Natuurkundeclub β’24 (besloten pagina)

Alleen voor leden

Natuurkundeclub β’24

Natuurkundeclub Gℏc

Resumé Watchers

De integraal van
f (x) = 1/(1 − a² cos² x)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(1 − a² cos² x)^1/2

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van f (x) = 1/(1 − a² cos² x)^1/2 voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn)

Deze integraal staat te boek als de complementaire elliptische integraal van de eerste soort. Voor het integreren van deze functie maak ik gebruik van de volgende formule uit de goniometrie:

Vergelijking

Daarmee kan ik de functie ook schrijven als volgt:

Vergelijking

Vervolgens stel ik:

Vergelijking

Waardoor de functie tenslotte wordt:

Vergelijking

De integraal wordt dan:

Vergelijking

De oplossing van de integraal van (1 − a² sin² x)^−1/2 kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit resultaat:

Vergelijking

Dit klinkt allemaal heel logisch, maar het probleem is de convergentie van bovenstaande reeks. De convergentievoorwaarde is namelijk:

Vergelijking

Dit gaat dus helemaal mis zoals uit het plaatje hieronder blijkt.

Grafiek

De grafiek van F (x) voor a² = 0.1 (de rode lijn), a² = 0.5 (de groene lijn)
en a² = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0

Taylor

In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Vergelijking

De integraal wordt dan:

Vergelijking

Dit gaan we term voor term integreren. De oplossingen van de integralen van al die cosinussen kun je elders vinden in de tabel met integralen. Zo komen we tot de volgende oplossing:

Vergelijking

De elliptische integraal van de eerste soort wordt in de literatuur aangegeven met de letter K en bij deze integraal, de complementaire variant, komt er een sterretje bij:

Vergelijking

Grafiek

De grafiek van F (x) voor a² = 0.1 (de rode lijn),
a² = 0.5 (de groene lijn) en a² = 0.9 (de blauwe lijn), c = 0,
10 termen meegenomen

Elliptische integralen	Eerste soort	Tweede soort	Derde soort (vereenvoudigde vorm)
Standaardvorm	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
Compleet	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking
Complementair	Toon uitwerking (= deze pagina)	Toon uitwerking	Toon uitwerking
Complementair én compleet	Toon uitwerking	Toon uitwerking	Toon uitwerking

Miniatuur

Naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = cos x/(1 − a² cos² x)^1/2

Miniatuur

Naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = sin x/(1 − a² sin² x)^1/2

Miniatuur

Tabel met integralen

Miniatuur

Tabel met afgeleiden

Miniatuur

Tabel met Taylor-reeksen

Miniatuur

Differentiëren

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x² e^ax

Miniatuur

De integraal van
f (x) = x³/(a² + x²)^1/2

Miniatuur

De integraal van
f (x) = cos x sin² x/(1 − a² cos² x)²

Miniatuur

De integraal van
f (x) = tan² (ax)

Miniatuur

De integraal van
f (x) = 1/(x² (x − a))

Miniatuur

De integralen van
f (x) = xⁿ

Miniatuur

De integralen van
f (x) = 1/x^p (a² + 1/x^{2p + 2})^1/2

Miniatuur

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 35

Miniatuur

Vectoren, vraagstuk 80

Miniatuur

Hoe vormt zich de Ricci-tensor?

Miniatuur

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − x)^1/2

Miniatuur

De Taylor-reeksen van
f (x) = 1/(a ± x²)^1/2

Miniatuur

De stelling van Green

Miniatuur

Definities en eigenschappen van complexe getallen

Miniatuur

Holomorfie van de functie
f (z) = tan z

Miniatuur

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: inleiding

Miniatuur

De integraal van
f (x) = (1 − cos (ax))^1/2

Miniatuur

Miniatuur

De integraal van
f (x) = arccos (ax + b)

Miniatuur

Miniatuur

De minimale straal van een holle bol

Miniatuur

Een planeettijdreismachine

Miniatuur

De integralen van
f (x) = (ax² + bx + c)^1/2

Miniatuur

Gravitationele rood-/blauwverschuiving

Miniatuur

Getijdenkrachten

Miniatuur

Zijn wij vroeg of laat?

Miniatuur

Overzichtspagina wiskunde

Miniatuur

Overzichtspagina natuurkunde

Miniatuur

Overzichtspagina filosofie

Miniatuur

Doneer enkele euro’s

Miniatuur

Wetenschappelijke boeken te koop

Miniatuur

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2026