Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | Definities van hyperbolische functies

Definities van hyperbolische functies

De definitie van de hyperbolische functies.

Sinus hyperbolicus:

Cosinus hyperbolicus:

Tangens hyperbolicus:

En er zijn de reciproke versies van dit drietal.

Cosecans hyperbolicus:

Secans hyperbolicus:

Cotangens hyperbolicus:

De grafieken van deze functies zien er als volgt uit:

De grafiek van f (x) = sinh (ax) voor a = 0.9 (de rode lijn),
a = 1 (de groene lijn) en a = 1.1 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = cosh (ax) voor a = 0.9 (de rode lijn),
a = 1 (de groene lijn) en a = 1.1 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = tanh (ax) voor a = 0.5 (de rode lijn),
a = 1 (de groene lijn) en a = 2 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = csch (ax) voor a = 0.5 (de rode lijn),
a = 1 (de groene lijn) en a = 2 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = sech (ax) voor a = 0.5 (de rode lijn),
a = 1 (de groene lijn) en a = 2 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = coth (ax) voor a = 0.5 (de rode lijn),
a = 1 (de groene lijn) en a = 2 (de blauwe lijn)

Waaruit volgt:

De inverse hyperbolische functies.

Area sinus hyperbolicus:

Area cosinus hyperbolicus:

Area tangens hyperbolicus:

Area cosecans hyperbolicus:

Area secans hyperbolicus:

Area cotangens hyperbolicus:

En daar zijn uiteraard ook grafieken van te maken:

De grafiek van f (x) = arsinh (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = arcosh (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = artanh (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = arcsch (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = arsech (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Grafiek

De grafiek van f (x) = arcoth (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)

De inverse hyperbolische functies zijn ook te schrijven als logaritmische functies. Om te laten zien hoe je ze omschrijft maak ik gebruik van de abc-formule voor het oplossen van een tweedegraads vergelijking:

Dit is de sinus hyperbolicus:

De area sinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de cosinus hyperbolicus:

De area cosinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we in het verkeerde kwadrant. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de tangens hyperbolicus:

De area tangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de cosecans hyperbolicus:

De area cosecans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de secans hyperbolicus:

De area secans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we in het verkeerde kwadrant. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de cotangens hyperbolicus:

De area cotangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Ik heb hierboven tweemaal de keuze gemaakt voor een plusteken bij de wortel, omdat we anders in het verkeerde kwadrant terecht kwamen. Ik zal dat nog even expliciet laten zien in enkele grafieken.

De grafiek van f (x) = arcosh (ax) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), positieve wortel
Grafiek