Analyse van een model voor de dichtheid van de Zon

Analyseer het volgende model voor de dichtheid van de Zon:
Met deze parameters:
  • a = 1.2375276000 ∙ 10−16
  • b = 1.6220004490 ∙ 105
  • c = −4.4903863007 ∙ 10−2
  • p = 0.75
  • q = 2.8333813167 ∙ 10−17

De Zon met halo
Dit is het voorliggende model voor de dichtheid van de Zon zoals ik dat in een eerder vraagstuk heb ontwikkeld:
Laat ik eens beginnen om daar een grafiek van te maken (met de gegeven parameterwaarden bovenaan deze pagina).
Op de horizontale as varieert r van 0 tot R (R is de straal van de Zon, R = 6.957 ∙ 108 m). Wanneer ik r = R invul in vergelijking (1) dan krijg ik:
Aan de rand van de Zon komt de dichtheid uit op nul en dat is ook precies wat we verwachten. Natuurlijk is de dichtheid daar niet abrupt en exact nul, want er bestaat ook nog een corona en er is ook nog de zonnewind maar die zijn zo ijl dat we ons daar niet druk over hoeven te maken.

Aan de rand van de Zon wordt de dichtheid niet abrupt nul
Ik maak nogmaals een grafiek van de dichtheid, maar ik varieer r ditmaal van −R tot +R.
Duidelijk is te zien dat de dichtheid in het middelpunt van de Zon het hoogst is, zoals we ook logischerwijs verwachten. Wanneer ik r = 0 invul in vergelijking (1) krijg ik:
Door de dichtheid te integreren over het totale volume van de Zon krijg ik de massa:
Ik ga ook het traagheidsmoment uitrekenen:
De dichtheid in het centrum (vergelijking (3)), de massa (vergelijking (4)) en het traagheidsmoment (vergelijking (5)) van de Zon die ik heb uitgerekend zijn alledrie in overeenstemming met de NASA Planetary Fact Sheet, kortom dit is een solide model.

Ik ga de afgeleide bepalen van vergelijking (1):
En vervolgens ga ik deze afgeleide nul stellen:
Die e-macht gaat natuurlijk nooit negatief worden, dus uit de rechtermogelijkheid komt geen oplossing voort. De enige oplossing is daarom r = 0 en dat is, zoals de bovenstaande grafieken laten zien, inderdaad het enige punt met een horizontale raaklijn en tevens het maximum van de grafiek. Vergelijking (6) laat tevens zien dat overal elders de afgeleide negatief is en de functie is dus monotoon dalend (en dat moet ook zo zijn, want het zou heel raar zijn indien de dichtheid vanuit het middelpunt van de Zon naar buiten toe eerst zou afnemen en op enig moment weer zou toenemen).

Ik bepaal ook nog de tweede afgeleide:
Ik stel:

En vervolgens ga ik de tweede afgeleide ook nul stellen:
Ik vind r = 6.628 ∙ 107 = 0.0953R, dit is het buigpunt van de grafiek. De kern van de Zon, waar het fusieproces plaatsvindt, strekt zich uit tot ongeveer 0.20R ~ 0.25R. Ook dit is wat je dan (wiskundig) zou verwachten.

Het is ook wel interessant om de beide e-machten apart onder de loep te nemen:

Ik bepaal van allebei de afgeleide:

En ik bepaal van beide de tweede afgeleide:

Nu ga ik de tweede afgeleiden nul stellen:

Zoals gezegd reikt de kern van de Zon tot ongeveer 0.20R ~ 0.25R, en daarna begint de stralingszone tot ongeveer 0.7R. De overige 0.3R is de convectiezone. De plaatsen van deze overgangen zijn prima te rijmen met de hierboven gevonden buigpunten (de overgangen liggen op ruwweg driemaal het buigpunt, en dat past prima bij een normale verdeling die door de e-machten gerepresenteerd wordt).

Tot slot wil ik nog even het volgende laten zien. Op Wikipedia staat ook een grafiek voor de dichtheid van de Zon:

(Credits: Wikipedia)
Ik leg de grafiek van het model dat we hier aan het onderzoeken zijn erover heen:
Prachtig toch?