De zwaartekracht van een homogene oblate ster
Bereken de zwaartekracht die een homogene afgeplatte ster uitoefent op een andere massa (die voor te stellen
is als een puntmassa).
Om dit vraagstuk wat gemakkelijker tot een goed einde te brengen maak ik een kleine omweg.
Ik ga gebruik maken van de potentiaal van het zwaartekrachtveld.
De potentiaalfunctie is de integraal
van het zwaartekrachtveld, en omgekeerd is het zwaartekrachtveld de
afgeleide van de potentiaalfunctie.
De zwaartekracht die twee massa’s op elkaar uitoefenen wordt beschreven door de gravitatiewet van Newton:
De
integraal van het veld is de
potentiaalfunctie:
Ik ga nu eerst de potentiaalfunctie bepalen en daarna pas de zwaartekracht die de ster uitoefent
(het voordeel van deze werkwijze zal later blijken).
Daartoe kiezen we een bepaald x-y-z-assenstelsel en ik plaats het zwaartepunt van de ster in de oorsprong
van dit assenstelsel.
Aan de evenaar heeft de ster een grotere straal dan aan de beide polen, want de ster is immers afgeplat.
De straal aan de evenaar noem ik a en de straal aan de beide polen noem ik b.
Wanneer ik een horizontaal schijfje uit de ster haal dan heeft dat de vorm van een cirkel, maar
wanneer ik een verticaal schijfje uit de ster haal dan heeft dat de vorm van een ellips.
Voor de
excentriciteit
van die ellips kan ik schrijven:
En de maximale straal is dan:
Bij de evenaar is θ = 0 en is de maximale straal:
Bij de polen is θ = +π/2 of θ = −π/2 en vind ik voor de maximale straal:
De ster, met massa m
1, oefent zwaartekracht uit op een andere massa, m
2, die zich
op coördinaten (x, y, z) bevindt.
De zwaartepunten van m
1 en m
2 bevinden zich op een afstand R van elkaar.
En omdat het zwaartepunt van m
1 zich in de oorsprong bevindt geldt voor R:
Ik ga een infinitesimaal stukje massa van de ster beschouwen, dm
1, en dat bevindt zich op
de coördinaten (ξ, η, ζ) op een afstand r van de oorsprong.
Voor r geldt dus:
Ik ga ervan uit dat r veel kleiner is dan R (r is maximaal de straal van de ster en R is de afstand tot de
andere massa, dus dit is een meer dan redelijke aanname).
De afstand van het stukje massa dm
1 tot (het zwaartepunt van) m
2 noem ik s.
Voor s geldt dus:
Uit de vergelijkingen (2) en (9) volgt dat ik voor de potentiaalfunctie van het stukje massa dm
1
kan schrijven:
De potentiaalfunctie van de totale ster wordt dan:
We hebben te maken met een homogene ster en dan kan ik voor de dichtheid schrijven (hierin is V het totale
volume van de ster):
Waaruit volgt:
Door te
differentiëren ontstaat:
En dit stop ik in vergelijking (11):
Omdat we te maken hebben met een afgeplatte bol, een
sferoïde, (of heel netjes gezegd: een
oblate sferoïde) ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten.
Voor een stukje dV geldt dan:
Waarmee vergelijking (15) wordt:
De hoek φ is de hoek die verandert wanneer ik een (hypothetische) wandeling maak over de evenaar en
de hoek θ is de hoek die verandert wanneer ik een (wederom hypothetische) wandeling maak van de ene
pool naar de andere.
Ik kan daarom de volgende
integratiegrenzen al invullen:
De
integratiegrenzen van
r liggen iets gecompliceerder.
De straal r loopt van nul tot r
max (zie vergelijking (4)):
Ik ga de term 1/s, de breuk in de
integraal hierboven, even apart onder
handen nemen en om te beginnen werk ik de haakjes weg:
Met behulp van de vergelijkingen (7) en (8) wordt dit:
Ik heb nu iets van de vorm:
De volgende stap is om dit te ontwikkelen in een Taylor-reeks:
De constanten c
i bepaal ik als volgt:
Voor het gemak schrijf ik f (x) als volgt:
Nu ga ik de
afgeleiden bepalen:
Vervolgens ga ik overal nul invullen om de constanten c
i te bepalen:
Aldus kom ik tot de volgende reeks:
Hiermee komt vergelijking (21) er als volgt uit te zien:
Ik dien mij hier even te bezinnen, want het aantal termen dat ik meepak is bepalend voor de nauwkeurigheid
die ik kan bereiken.
De verhouding r
max/R is voor de Zon en de planeet die daar het dichtst bij staat, Mercurius,
ongeveer 7 ∙ 10
5/58 ∙ 10
6 = 0.012.
Indien ik alle termen tot en met de derde orde meeneem, en alle hogere orde termen verwaarloos, dan zit
ik maximaal ongeveer 0.012
4 verkeerd en dat is ruim minder dan 10
−7.
Dat lijkt me ruimschoots voldoende.
Nu komt de boeiende taak om de haakjes weg te werken.
Ik doe dat apart voor alle tellers, en combinaties van r-ξ-η-ζ neem ik dus mee tot en met
de derde orde:
Hiermee gaat vergelijking (29) over in deze puinhoop:
En dit stop ik weer terug in de
integraal
van vergelijking (19):
Nu moet ik ξ, η en ζ nog uitdrukken in r, φ en θ.
We werken in bolcoördinaten dus dan geldt:
Waarmee de chaos van vergelijking (32) nog wat verder toeneemt:
Nu ga ik de eerste
integraal
oplossen, waarbij ik de
integraal
van sin
3 x opzoek in de
tabel met integralen
en de
integraal
van cos
3 x zoek ik ook op in de
tabel met integralen.
Ik neem ze even allemaal apart en ik begin met de
integralen die als resultaat nul hebben:
Dat ruimt lekker op!
Ik kan een flink aantal termen overboord gooien:
De overgebleven termen met φ hebben als resultaat
(de
integraal
van sin
2 x zoek ik op in de
tabel met integralen
en de
integraal
van cos
2 x zoek ik ook op in de
tabel met integralen):
En de termen zonder φ hebben als resultaat:
Zodat het uiteindelijke resultaat van de eerste
integraal wordt:
Nu ga ik de tweede
integraal
oplossen:
En tenslotte ga ik de derde
integraal
oplossen, waarbij ik wederom gebruik maak van de
tabel met integralen.
Ik neem ze weer even allemaal apart en ik begin met de
integralen die als resultaat nul hebben:
Ook dat ruimt lekker op:
De resterende
integralen hebben
als resultaat:
Hiermee bereik ik tenslotte als antwoord:
Voor het volume van deze sferoïde geldt:
Hiermee, en met vergelijking (12), ga ik de breuk onder handen nemen die helemaal vooraan staat in het rechterlid
van vergelijking (44):
Zodat vergelijking (44) uiteindelijk deze vorm krijgt:
Even dit tussendoortje:
Zodat (47) er nog mooier uit komt te zien:
Ongelooflijk (bijna) dat na al dit ingewikkelde rekenwerk er een relatief eenvoudige vergelijking overblijft.
Wederom de schoonheid van de wiskunde in actie!
Voordat ik de volgende stap neem schrijf ik (49) uit in x, y en z:
En nu komt het grote voordeel dat ik de potentiaalfunctie heb uitgerekend, want de zwaartekracht die de ster uitoefent
in de x-richting, y-richting en z-richting vind ik door vergelijking (50) simpelweg
partieel te differentiëren
naar x, y en z:
Door deze
afgeleiden met m
2
te vermenigvuldigen krijg ik krachten:
De totale zwaartekracht die de ster uitoefent op de puntmassa is:
Ik ga even een paar speciale gevallen onderzoeken.
Allereerst beschouw ik het vlak waar de evenaar van de ster zich in bevindt, daar is z = 0:
De extra term (de rechterterm) is dan positief, dit betekent dat de ster daar
meer zwaartekracht uitoefent
dan een perfect-ronde ster (met dezelfde massa uiteraard).
Vervolgens beschouw ik de punten precies boven en onder de polen, daar is x = y = 0:
De extra term is dan negatief, dit betekent dat de ster daar
minder zwaartekracht uitoefent
dan een perfect-ronde ster (met dezelfde massa).
Waar bevindt zich dan het gebied waar de zwaartekracht ‘normaal’ is?
Dat is waar de extra term gelijk is aan nul:
Dit is een kegel met de top in de oorsprong.
Eigenlijk twee kegels, eentje die naar beneden gericht is en eentje die naar boven gericht is, dus een diabolo.
Binnen de diabolo is er een fractie minder zwaartekracht, dan wanneer de ster perfect rond zou zijn, en buiten
de diabolo is er een fractie meer zwaartekracht.