Relativiteitstheorie, vraagstuk 54

Schrijf de vergelijkingen die de algemene relativiteitstheorie beschrijven volledig uit in componenten van de metrische tensor.
In hun meest compacte vorm zien de vergelijkingen die de algemene relativiteitstheorie beschrijven er zo uit:
Hierin is κ een evenredigheidsconstante:
Hiermee wordt vergelijking (1):

In het linkerlid staat de Einstein-tensor:

Daarmee breidt vergelijking (3) een stukje uit:

Rμν is de Ricci-tensor, de contractie van de Riemann-tensor (voor de afleiding zie deze pagina):

R is de Ricci-scalar, de contractie van de Ricci-tensor (voor de afleiding zie deze pagina):
De vergelijkingen (6) en (7) vul ik in in vergelijking (5):
Wanneer ik het allemaal wat indik dan ziet het er iets vriendelijker en overzichtelijker uit:
Dit ziet er op zich al afschrikwekkend genoeg uit, maar bedenk dat alle dummy indices een sommering vereisen. De Ricci-tensor bestaat, volledig uitgeschreven, uit 2368 termen en de Ricci-scalar bestaat uit het ontzagwekkende aantal van maar liefst 20992 termen. De bovenstaande vergelijking bevat dus 2368 + 20992 = 23360 termen! En dat moet vervolgens tienvoudig opgelost worden, omdat zowel μ als ν de waarden 0,1,2,3 doorlopen (de metrische tensor g is symmetrisch, en daarom kom je tot tien vergelijkingen en niet tot 4 × 4 = 16 vergelijkingen).