Relativiteitstheorie, vraagstuk 51

Er wordt altijd wel zo gemakkelijk gezegd dat wanneer een waarnemer met een snelheid +v beweegt ten opzichte van een andere waarnemer dat deze laatste dan beweegt met een snelheid −v ten opzichte van de eerste. Maar is dat eigenlijk wel zo?
Het relativiteitsprincipe is een hoeksteen van de relativiteitstheorie en dit principe zegt dat alle inertiaalstelsels equivalent zijn. Oftewel, er is niets, maar dan ook helemaal niets, waarin een specifiek inertiaalstelsel zich onderscheidt van alle andere. Het relativiteitsprincipe is weliswaar een aanname, maar tot op de dag van vandaag is er geen enkele reden, theoretisch of praktisch, om dit principe ter discussie te stellen. Wanneer een waarnemer W1 een waarnemer W2 met een snelheid v voorbij ziet komen dan ziet waarnemer W2 waarnemer W1 ook met een snelheid v voorbijkomen. In grootte althans, er kan eventueel een tekenverschil optreden indien beide waarnemers de positieve richting van de snelheid andersom gedefinieerd hebben. Dit heeft weinig met relativiteitstheorie te maken, dit is eigenlijk puur een wiskundige onvermijdelijkheid.

Waarnemer W1 ziet dus waarnemer W2 met een snelheid v voorbijkomen en ik ga ervan uit dat waarnemer W2 waarnemer W1 met een snelheid w voorbij ziet komen. De snelheid v noem ik de directe snelheid en de snelheid w de reciproke snelheid. De grote vraag is dan: wat is het verband tussen v en w? Daarvoor doe ik eerst nog de volgende aanname: de ruimtetijd is homogeen. Dit impliceert dat zowel ruimte als tijd overal en altijd dezelfde eigenschappen hebben. Daarom zal de snelheid w een of andere functie zijn van v, en van v alleen, want andere variabelen zijn er niet. We gaan immers uit van een homogene ruimtetijd dus positie en tijdstip hebben geen invloed op de snelheden v en w. Ik kan daarom stellen:
Hierin is f de functie die we zoeken. Bezien vanuit de andere waarnemer moet gelden:
Alle inertiaalstelsels zijn zoals gezegd equivalent en daarom moeten beide waarnemers dezelfde functie f hanteren. Ik kan vergelijking (1) in vergelijking (2) invullen en vice versa:

Of in woorden: indien ik de functie f tweemaal achter elkaar toepas dan moet ik als antwoord datgene krijgen dat ik er oorspronkelijk heb ingestopt (in dit geval v respectievelijk w). Of anders gezegd: de functie is zijn eigen inverse. Een dergelijke functie heet een involutie. Er zijn oneindig veel functies die involuut zijn en de uitdaging is om die ene functie eruit te pikken die wij zoeken. Wat kunnen we zeggen over deze functie f? Ik heb nog geen idee hoe deze functie f eruit ziet, maar ik heb even uit de losse pols een stukje geschetst, zie het plaatje hieronder.
Dit is een stukje van de functie volgens vergelijking (1a) en volgens vergelijking (1b) moet dat hetzelfde plaatje opleveren, maar dan met v en w verwisseld.
Nu ga ik de bovenstaande twee plaatjes samenvoegen in één plaatje.
Het moge duidelijk zijn dat de functie f symmetrisch is ten opzichte van de lijn y = x (de rode lijn), of, om in termen van dit vraagstuk te blijven, ten opzichte van de lijn g (v) = v. Een simpel voorbeeld van een functie die hieraan voldoet is de functie f (v) = −v.

De grafiek van g (v) = v (de rode lijn) en f (v) = −v (de groene lijn)
Ik kan er eventueel nog een constante aan toevoegen.

De grafiek van g (v) = v (de rode lijn), f (v) = −v − 4 (de groene lijn)
en f (v) = −v + 4 (de blauwe lijn)
De functie f (v) = 1/v voldoet ook.

De grafiek van g (v) = v (de rode lijn) en f (v) = 1/v (de groene lijn)
Ik kan het ook wat exotischer maken: een cirkel.

De grafiek van g (v) = v (de rode lijn) en f (v) = (5 − v2)1/2 (de groene lijn)
Dit zijn zomaar wat voorbeelden en hier zijn ook nog allerlei variaties op te bedenken, maar zoals je ziet zijn ze allemaal symmetrisch ten opzichte van de functie g (v) = v (de rode lijn). Merk op dat de rode lijn, de functie g (v) = v, zelf ook voldoet, want die lijn voldoet ook aan het symmetrie-criterium.

Om een lang verhaal kort te maken: er zijn in essentie maar twee involute functies (voor de complete uitleg zie de pagina over involuties):

Die ga ik nu uiteraard inzetten voor dit vraagstuk:

Vergelijking (4a) levert w = 0 op indien v = 0. Dat is heel geruststellend, want indien de ene waarnemer de andere niet ziet bewegen dan is dat omgekeerd ook zo en dat komt overeen met de werkelijkheid zoals wij die waarnemen. Vergelijking (4b) moet dan ook w = 0 opleveren indien v = 0 en daaruit volgt dat b = 0. Dan kan ik de vergelijkingen (4) samennemen als volgt:
En indien ik alleen naar de groottes van de snelheden kijk:
Oftewel, het reciprociteitsprincipe (de reciproke snelheid is gelijk aan de directe snelheid, eventueel met een minteken) volgt rechtstreeks uit de volgende twee aannames:
  1. het relativiteitsprincipe,
  2. de ruimtetijd is homogeen.